Capitolo 1

Introduzione

1.1 Relatività: una teoria dura da digerire?

N onostante siano passati più di novanta anni dall’enunciazione dei principi fondamentali della relatività e nonostante essa abbia predetto correttamente l’evolversi di situazioni, per certi versi anche paradossali, in centinaia di verifiche sperimentali c’ è ancora qualcuno che cerca di minare le sue fondamenta facendo breccia su certi paradossi marginali o su alcuni elementi non ricavabili dalla teoria ma da essa postulati.

Ci troviamo dunque di fronte alla dimostrazione che, anche all’interno del sistema teorico della fisica, sembra valere una sorta di principio di inerzia che consente a teorie ormai in declino, a causa dell’avvento di nuove teorie che descrivono in maniera più adeguata il mondo, di resistere alla loro fine naturale e, di tanto in tanto escono fuori lavori di uomini anche dotti, che cercano di rivalutare il vecchio nei confronti del nuovo. La storia ci porta innumerevoli esempi di tale inerzia mentale quali la transazione, avvenuta non senza ”feriti”, dal sistema tolemaico a quello copernicano, o, in tempi più recenti, all’introduzione della teoria dei quanti.

Anche la teoria della relativià non è dunque da meno ma, rispetto agli altri esempi, continua a ricevere attacchi nonostante che la descrizione che essa ci propone del mondo sia rivoluzionaria tanto quanto lo è stata l’ introduzione della meccanica quantistico o la perdita del sistema geocentrico a favore di quello eliocentrico. Forse il motivo di tale ostentato barricarsi dietro a idee che cercano di salvare qualcosa del vecchio, dipende dal fatto che, al contrario delle altre teorie che descrivono fenomeni limitato a campi ben specifici, essa rivoluziona i contenitori di ogni fenomeno fisico che sono base dello studio della fisica, lo spazio e il tempo, che, insieme ai oggetti fisici dell’ esperimento, subiscono mutazioni quando sono in moto o quando si trovano in presenza di forze gravitazionali. Una prima motivazione sull’ accanimento che taluni hanno nell’accettare e nel permettere che venga accettata la teoria della relatività va dunque ricercata nel fatto che essa mina la base stessa della fisica manipolando gli oggetti stessi con cui si fà fisica e con cui si cerca poi di tradurre il pensiero fisico in linguaggio matematico.

Un’ altra motivazione che giustifica, agli occhi di taluni, la necessità di una ”ribellione” ai postulati della relatività è che essa sia solo un cervellotico costrutto della mente umana atta a spiegare alcuni risultati sperimentali anomali e che esistono invece altresì teorie ben più serie (leggi, ben più attinenti ad una visione classica del mondo) che spiegano gli stessi risultati senza dover scomodare velocità limiti o quant’altro. Tali persone dimenticano però che queste loro teorie così serie hanno dovuto, per adattarsi così bene ai risultati sperimentali, di volta in volta, essere modificate ad hoc, basti pensare a tutte le proprietà aggiunte di volta in volta all’ ”etere” per permettergli di adattarsi a risultati speriementali che contraddicevano alcune sue proprietà. La teoria della relatività invece spiega tutti questi risultati in modo adeguato con solo un paio di postulati iniziali.

Un’altra motivazione che viene poi usata da quasi tutti quelli che rigettano la teoria della relatività si basa proprio su questi postulati ossia sul fatto che il valore della velocità della luce e la sua misurazione viene convenzionalmente posto dalla teoria e dunque, tale valore non è ricavabile all’interno della teoria stessa. L’impossibilità di poter misurare la velocità della luce su percorsi di sola andata deriva dalla necessità di dover sincronizzare gli orologi in due punti differenti dello spazio-tempo secondo una certa modalità da definire a priori prima di poter elaborare la teoria. Il problema era ben noto a Einstain che cosìspiega il suo metodo di sincronizzazione degli orologi:[1]

Se un orologio si trova in un punto A dello spazio, un osservatore che si trovi in A può valutare dal punto di vista temporale gli eventi immediati dintori di A guardando le posizioni della lancetta dell’ orologio negli stessi istanti in cui questi si verificano.

Se un orologio si trova anche in un punto B dello spazio, è possibile per un osservatore che si trovi in B una valutazione temporale degli eventi nelle immediate vicinanze di B.

Ma non è possibile, senza un‘ ulteriore definizione, confrontare un evento in A con un evento in B dal punto di vista temporale; noi abbiamo sinora definito solo ”un tempo A” e ”un tempo B” ma non abbiamo detto nulla riguardante ”il tempo” comune ad A e a B. Quest’ ultimo può essere definito solo stabilendo per definizione che ”il tempo” che occorre alla luce per arrivare a B è uguale al ”tempo” che le occorre per arrivare da B a A.

Così facendo è dunque evidente che la velocità della luce su percorsi di sola andata resta fissata come postulato e dunque la teoria nulla può dirci riguardo a sue possibili anisotropie direzionali.

Se però questo è vero, è altrettanto vero che è possibile costruire all’ interno della relatività ristretta o speciale (S.R.) degli esperimenti atti a misurare i limiti inferiori di tale anisotropia e dunque a supportare la compatibilità dell’isotropia della velocità della luce con la teoria.

Quello che vogliamo analizzare con questo lavoro è dunque la base teorica che porta a poter calcolare tali limiti anisotropici e analizzare alcuni esperimenti eseguiti o eseguibili per calcolare tali limiti. (Nota: Introdurre in modo più dettagliato l’elenco delle cose che verranno sviluppate nel corso del lavoro)

Capitolo 2

Test della teoria della relavità speciale

2.1 Problema storico

F in dall’ antichità l’ uomo fu portato a tentare di compiere misurazioni circa la velocità di propagazione della luce. Lo stesso Galileo racconta del suo fallito tentativo tramite l’ utilizzo di lanterne poste su due colline. Tali tentativi ”terrestri” erano destinati a sicuro fallimento a causa dell’ elevato valore di detta velocità e a causa della imperfetta strumentazione utilizzata. Una prima misurazione corretta riguardo all’ ordine di grandezza di questa velocità fu data da Roemer??? nel ???? utilizzando però un metodo astronomico tramite la variazione dell’ occultamento delle lune di Giove in differenti periodi dovuti alla differente posizione relativa tra la Terra e Giove e dunque dalla differente distanza di cammino compiuta dalla luce. Successivamente tali metodi e ulteriori altri metodi furono raffinati fino a giungere a buone precisioni di calcolo tramite metodi interferometrici ( bf Nota: eventualmente spiegare brevemente in cosa consistono tali metodi). Nel corso della fine del XIX secolo e inizi del XX furono tentati numerosi esperimenti atti a misurare la velocità della luce da sorgenti in moto rispetto all’ ”etere” che era il mezza teorizzato su cui viaggiavano le onde elettromagnetiche. Anche qui furono tentati metodi interferometrici per misurare la variazione della velocità della luce generata da una sorgente solidale con la terra che, si supponeva, in moto relativo rispetto all’ etere. La speranza era di trovare, nella più semplice delle ipotesi che c(v) = c ± v ove v fosse stata la velocità della terra rispetto all’ etere determinando la velocità della luce tra due punti terrestri A e B e poi determinando la stessa nel percorso di ritorno.

Per la buona riuscita dell’ esperimento era necessario una modalità operativa di sincronizzazione tra gli orologi nei due punti dell’ esperimento. Oltre al classico metodo della sincronizzazione degli orologi per trasporto dove due orologi vengono sincronizzati nello stesso punto e poi uno di essi viene trasportato nell’ altro punto (trasportato lentamente rispetto a c) vi era un altro metodo introdotto da Einstain [1] consistente nell’ utilizzo di onde elettromagnetiche per la sincronizzazione degli orologi. In sostanza da uno dei due punti, per esempio A veniva inviato un impulso elettromagnetico verso B ad un istante concordato in precedenza. Al giungere del segnale in B si poteva sincronizzare l’ orologio tenendo conto dell’ istante concordato e del tempo che l’ impulso aveva impiegato a percorrere il percorso tra A e B, tempo che, detta con d questa distanza, poteva essere facilmente calcolato come d/c. Ma in questo calcolo, apparentemente del tutto innocente, si nasconde il problema che impedisce, all’ interno del costrutto logico della teoria della relatività ristretta, il calcolo della velocità della luce su percorsi di sola andata; nel fatto che del tempo impiegato dall’ impulso elettromagnetico di sincronizzazione tra A e B interviene proprio il valore c che si vuole studiare. La sua definizione all’ interno della S.R. invalida la possibilità di ricavare un valore sperimentale differente dall’ esperimento di cui sopra.

2.2 La costruzione di teorie alternative compatibili con la S.R. per la determinazione della ”one way light velocity”

Come detto, il problema dell’ ugualianza della velocità della luce in due direzioni opposte, quando la sincronizzazione degli orologi è fatta con il metodo di Einstain è ovvia e dunque non può essere oggetto di ulteriore studio. Abbiamo però accennato sopra che esiste un altro metodo, che poi è quello usato in fisica classica, per la sincronizzazione degli orologi: il metodo del trasporto. Si potrebbe pensare dunque di utilizzare tale metodo per ottenere dei risultati non triviali riguardanti il calcolo in oggetto. È stato pero dimostrato [3] e lo si può vedere in forma analitica nell’ Appendice A che la procedura di sincronizzazione degli orologi per trasporto e la procedura di sincronizzazione di Einstain sono equivalenti se ci si muove all’ interno della S.R.

C’ è però una via che conduce a calcoli non triviali circa la velocità della luce su percorsi di sola andata e ciò avviene utilizzando come metodo di sincronizzazione quello del trasporto su teorie le cui espressioni basilari non coincidono esattamente a quelle della S.R. ma che la S.R. rappresenti un’ approssimazione dovuta a una limitata precisione degli esperimenti esplorando dunque possibili deviazioni dalle espressioni predette dalla S.R. È questa la via che intendiamo percorrere per avere una teoria che testi la relatività speciale dall’ esterno.

2.3 Il test della relatività di Mansouri e Sexl

2.3.1 Introduzione

Il lavoro di Mansouri e Sexl [2] ^{1} che ci apprestiamo qui ad analizzare si base sullo sviluppo di una classe di teorie equivalenti a quella della S.R. Utilizzando tali teorie si cercherà di analizzare i metodi di sincronizzazione che sono alla base della misura della ”one-way light velocity” ricercando, in particolare, quali siano le condizioni per cui la sincronizzazione per trasporto è equivalente con quella Einstaniana in quanto, come detto sopra, si utilizzerà poi proprio il metodo del trasporto per costruire espressioni non triviali per la misura della velocità della luce su percorsi di sola andata.

I due metodi fin ora introdotti, quello del trasporto e quello di Einstain appartengono a quella classe di metodi di sincronizzazione detti ”sincronizzazione con metodi interni” ma esiste un’ altro classe di metodi di sincronizzazione importante per il nostro lavoro che viene detta ”sincronizzazione con metodi esterni. Con i metodi appartenenti a tale classe si definisce un particolare sistema di riferimento (il sistema dell etere) e tuitti gli orologi negli altri sistemi vengono sincronizzati con quelli del sistema dell’ etere. Vi sono però un’ infinità di metodo con cui, però, può essere effettuata operativamente la sincronizzazione ma, tra questa infinità vedremo che ne esiste una con cui la fisica che ne viene fuori è fondamentalmente equivalente alla S.R. Questa teoria che, per così dire, riscopriremo, altri non è se non la generalizzazione di quella sviluppata da Lorentz-Loran-Poincar´ e.

1I calcoli completi relativi a questo lavoro possono essere trovati nella appendice A di questo lavoro

2.3.2 Modello unidimensionale

Iniziamo innanzitutto considerando il problema della sincronizzazione degli orologi in un mondo unidimensionale considerando la procedura di sincronizzazione di Einstain S_{E} che utilizza, per la sincronizzazione, dei segnali luminosi e la sincronizzazione S_{T} ottenuta tramite il trasporto ”lento” degli orologi da un punto all’ altro.

Imponiamo alcune ipotesi di lavoro circa la propagazione della luce. Il primo vincolo che imponiamo è che la velocità della luce sia indipendente dalla condizione di moto della sorgente che la genera. Il secondo vincolo è che assumiamo esistere un sistema di riferimento Σ (sistema dell’ etere) tale che, in esso, la sincronizzazione S_{E} coincida con la S_{T}. Tale condizione implica che, in Σ la velocità della luce, come misurata dagli orologi sincronizzati con il metodo S_{T} è isotropica ^{2} Per semplificarci ulteriormente la vita consideriamo un’ opportuna scala dei tempi e dello spazio in Σ tale che la velocità della luce sia, in Σ, uguale a uno. Consideriamo ora un secondo sistema di riferimento S in moto con una velocità v < c rispetto a Σ ossia, per essere pedantemente precisi, tale che l’ origine di S si muove con velocità v quando misurata con il sistema di orologi e regoli definito in Σ. Anche S, ovviamente, possiede un sistema di orologi e regoli costituito con le stesse modalità operative scelte per Σ, regole che, facciamo notare, non sono state ancora definite. Il nostro scopo sarà infatti proprio quello di valutare l’ influenza delle diverse scelte di metodi di sincronizzazione interna degli strumenti di misura rispetto alle trasformazioni tra Σ e S. Iniziamo allora considerando delle trasformazioni lineari tra le coordinate Σ(X, T) e le coordinate S(x, t) della forma

\{ \begin{matrix}t & = aT + ϵx \\ x & = b(X − vT) \end{matrix}  (2.1)

con a, b, ϵ arbitrarie funzioni di v da determinare in base alla teoria o in base a misure sperimentali, con 1/a(v) l’ espressione della dilatazione dei tempi della teoria e b(v) l’ espressione della dilatazione delle lunghezze. Per quanto riguarda ϵ(v) esso non si ricava, e dunque non dipende, dagli esperimenti ma è determinato dalla convenzione utilizzata per la sincronizzazione degli orologi.

2Infatti, se così non fosse, consideriamo un punto O in Σ e spostiamo due orologi sincronizzati con un terzo che resta in O in due posizioni A e B con A ≢ B ≢ O e, senza perdita di generalità supponiamo che ŌA = ŌB. Consideriamo ora la situazione in cui lungo il segmento ŌA la velocità della luce sia differente rispetto a quella lungo il braccio ŌB. Inviamo allora degli impulsi luminosi di sincronizzazione da O agli orologi in A e in B. Ora, a causa della diversa velocità della luce lungo i due tratti essa non giungerà nello stesso istante ai due orologi che quindi si sincronizzeranno in modo differente tra di loro. Siamo quindi giunti ad una contraddizione in quanto, da un lato siamo partiti dall’ ipotesi che S_{T} sia equivalente a S_{E} e dall’ altro siamo giunti ad avere degli orologi sincronizzati tramite S_{T} che si sono sincronizzati in modo differente quando si è usata S_{E}. La contraddizione sta proprio nell’ aver supposto differente la velocità della luce tra i due bracci ed essendo A e B punti generici diΣ si deduce immediatamente la generalità dell’ ugualianza della velocità della luce rispetto a qualsiasi direzione in Σ.

Risincronizzare gli orologi utilizzando un generico metodo implica di dover rimpiazzare t con f(x, v) che caratterizza, per l’ appunto la procedura scelta. Se ad esempio, si utilizzano le trasformazioni di Lorentz identiche alle 2.1 ma dove

b(v) = \frac{1}{a(v)} = \frac{1}{\sqrt{(1 − v^{2})}}  (2.2)

e dove ϵ(v) = −v ossia le

\{ \begin{matrix}t & = \sqrt{1 − v^{2}} T − vx \\ x & = \sqrt{X − vT} \end{matrix}  (2.3)

utilizzando come prescrizione la

f(x, v) = −vx

si ha che

t ↦ t + f(x, v) = t − vx = at − vx

è dunque

\{ \begin{matrix}t & = aT \\ x & = b(X − vT) \end{matrix}  (2.4)

Le 2.4 sono equivalenti alle 2.3 nella misura in cui se il risultato di un esperimento può essere correttamente interpretato dalla 2.3 allora lo stesso può essere correttamente interpretato anche dalla 2.4. La sola differenza fisica tra le due trasformazioni è che, nella seconda, è stato eletto il sistema Σ(X, T) come sistema dell’ etere in cui gli orologi sono stati sincronizzati con il metodo di Einstain. Gli orologi in un altro sistema S(x, v) sono stati invece sincronizzati utilizzando il metodo t ↦ t − vx ove v è la velocità del sisyema S rispetto a Σ.

Osserviamo che, a causa del fatto che per T = 0 anche t = 0 (nella rappresentazione di Lorentz si salva il concetto di simultaneità degli eventi) è possibile un ulteriore metodo di sincronizzazione degli orologi in ogni punto di S. Il metodo consiste nell’ aspettare, punto per punto, che esso passi per un orologio di Σ che segna, all’ istante del passaggio, l’ istante zero e impostare detto orologio in S esso stesso a zero. Questa procedura in cui gli orologi di S vengono sincronizzati tra di loro utilizzando gli orologi di Σ fa parte del gruppo delle ”sincronizzazioni con metodi esterni”. Indicheremo tale sincronizzazione con S_{A}.

Come accenato poco sopra, la teoria di Lorentz, salva il concetto classico di cimultaneità degli eventi. Essa ha però il notevole svantaggio di distruggere l’ equivalenza di tutti i sistemi inerziali avendone eletto uno a sistema privilegiato rendendo impossibile la costruzione di teorie con leggi invariati in ogni sistema di riferimento. Questa teoria è però perfettamente compatibile con i gli esperimenti eseguiti per comprovare la teoria della relatività infatti, nell’ ipotesi che esista un sistema di riferimento dell’ etere che soddisfa le trasformazioni 2.4 si vede che gli orologi rallentano se sono in moto rispetto ad esso mentre i regoli si allungano; dal sistema di riferimento in moto rispetto all’ etere, invece, i regoli fermi in Σ si accorciano mentre gli orologi accellerano.

Per quanto riguarda la legge di composizione delle velocità troviamo che, posto x = ut e X = wT si ha che x = \frac{1}{\sqrt{1−v^{2}}} (wT − vT) = ut = u\sqrt{1 − v^{2}} T ⟹ w = v + u(1 − v^{2})

e dunque si ottiene che, in questa teoria, la velocità della luce non è più un limite. Inoltre, se in S il punto x si muove con velocità c rispetto a Σ si ha che w′ = v + c(1 − v^{2}) mentre se si muove con velocità −c si ha che w′′ = v + c(1 − v^{2}) ≠ w′ e dunque questa formula ci mostra l’anisotropia della propagazione della luce in tutti i sistemi di riferimento eccetto per il sistema dell’ etere.

Torniamo ora alla 2.1 e abbandoniamo completamente l’ assunto che a(v) e b(v) possano essere i valori dati dalla teoria della S.R. e lasciamoli per ora indeterminati. Utilizzando il metodo di sincronizzazione degli orologi per trasporto si viene a trovare per ϵ_{T} (v) che esso risulta essere

ϵ_{T} (v) = \frac{1}{b(v)} \frac{da(v)}{dv}  (2.5)

e dunque, se si utilizza il metodo di sincronizzazione del trasporto la ϵ(v) dipende inversamente da b(v) e direttamente dalla a′(v) e che, assumendo per a(v) e per b(v) i valori dati dalla teoria della relatività ristretta si riottiene proprio che ϵ = −v. Considerando invese il caso di sincronizzazione degli orologi con il metodo di Einstain si ottiene che

ϵ_{E}(v) = −\frac{v}{1 − v^{2}} \frac{a(v)}{b(v)}  (2.6)

e dunque, come si vede, in generale la procedura S_{E} differisce dalla S_{T}. L’ unico caso si ha quando

ϵ_{E} = ϵ_{T}  (2.7)

e ciò avviene solo e soltanto se

a(v) = \sqrt{1 − v^{2}}  (2.8)

ossia la sincronizzazione per trasporto coincide con quella di Einstain se e solo se il fattore di dilatazione dei tempi a(v) è dato esattamente dal valore previsto dalla relatività ristretta.

2.3.3 Modello tridimensionale

P assiamo ora a generalizzare il discorso nel caso tridimensionale. In tale ambiente, la trasformazione generica tra il sistema Σ(T, X, Y, Z) e il sistema S(t, x, y, z) in moto rispetto a Σ con velocitã v⃗ sarà della forma

t = aT + ϵ_{1}x + ϵ_{2}y + epsilon_{3}z  (2.9a)
x = b_{1}T + b_{2}X + b_{3}Y − b_{4}Z  (2.9b)
y = d_{1}T + d_{2}X + d_{3}Y + d_{4}Z  (2.9c)
z = e_{1}T + e_{2}X + e_{3}Y + e_{4}Z  (2.9d)

Ora, con lo scopo di eliminare alcuni coefficienti, vincoliamo il nostro studio imponendo alcune considerazioni cinematiche che, comunque, non eliminano la generalità del discorso. Imponiamo, come prima condizione, che il moto di S rispetto a Σ abbia componenti solo lungo l’ asse delle X e che l’ asse x e l’ asse X councidano ossia che l’ asse x scorre lungo l’ asse X. Matematicamente cio si esprime per ogni T e X se y = z = 0 allora anche Y = Z = 0. Da queste considerazioni si deduce che

\begin{aligned}0 & = d_{1}T + d_{2}X \\ 0 & = e_{1}T + e_{2}X \end{aligned} ∀X, T  (2.10)

e posto X = 0, T ≠ 0 o X ≠ 0, T = 0 separatamente, si ha che

\begin{aligned}d_{1} & = d_{2} = 0 \\ e_{1} & = e_{2} = 0 \end{aligned}  (2.11)

Come seconda imposizione, supponiamo che in realtà non sia solo l’ asse x a scivolare lungo l’ asse X ma sia l’ intero piano xz a scorrere lungo XZ. Ciò si esprime dicendo che per ogni T, X, Y se y = 0 allora anche Y = 0 e sostituita nella 2.9c implica che

d_{4} = 0  (2.12)

Come ultima costrizione cinematica imponiamo il fatto che v è la velocità del sistema S rispetto a Σ ossia che l’ origine diS si muova con velocità v rispetto a Σ e che per t = 0 le due origini coincidano. L’ espressione matematica di quanto detto si esprime dicendo che se X = vt, Y = 0, Z = 0 allora questo è l’ origine del sistemaS ossia che x = y = z = 0 espressione, che, inserita nella 2.9b

0 = b_{1}T + b_{2}vT ⟹ b_{1} = −b_{2}vT  (2.13)

Siamo, al termine di tutti i vincoli cinematici, rimasti con un espressione

t = aT + ϵ_{1}x + ϵ_{2}y + ϵ3_{z}  (2.14a)
x = b_{2}(T − vX) + b_{3}Y + b_{4}Z  (2.14b)
y = d_{3}Y  (2.14c)
z = e_{3}Y + e_{4}Z  (2.14d)

Andiamo ora a imporre alcuni vincoli di carattere generale sulle 2.14 in modo da ridurre ulteriormente i coefficenti dell’ espressione. In Σ, sistema in cui, ricordiamo, vale la S_{T} = S_{E}, supponiamo che non esistano direzioni privilegiate. Questo implica, come nel caso unidimensionale che, in Σ, la misura della velocità della luce è indipendente dalla direzione di propagazione dell’ onda elettromagnetica. Questo implica inoltre che il sistema S, come visto da Σ, possiede una sola direzione privilegiata che è quella in cui punta v⃗.

Soffermiamoci ora sul coefficiente e_{3} della 2.14d. Un suo valore non nullo implica che il piano xy è inclinato rispetto a XY ma tale inclinazione non è plausibile in quanto, per costruire una trasformazione che produce una rotazione è necessario avere uno pseudovettore di rotazione che non può essere dunque v⃗. Ma allora S vista daΣ avrebbe un’ altra direzione privilegiata oltre a v⃗ che contraddice l’ asserto sopra. Stesso discorso vale per b_{3} e b_{4} che implicherebbero una rotazione del piano yz rispetto a Y Z.

\begin{aligned}e_{3} & = 0 \\ d_{3} & = d_{4} = 0 \end{aligned}  (2.15)

Per considerazioni analoghe si ha che

d_{3} = e_{4}  (2.16)

altrimenti il diverso fattore di scala tra x e y genererebbe una nuova direzione privileggiata non esprimibile come funzione di v⃗. Siamo allora giunti in definitiva alla trasformazione

t = a(v)T + ϵ_{1}(v)x + ϵ_{2}(v)y + ϵ(v)3_{z}  (2.17a)
x = b(v)(T − vX)  (2.17b)
y = d(v)Y  (2.17c)
z = d(v)Z  (2.17d)

dove si è rinominato con b ≡ b_{3} e d ≡ d_{3} = d_{4}. È questa l’ espressione generica delle trasformazioni delle coordinate spazio-temporali tra Σ e S che useremo per determinare i tre coefficienti ϵ⃗ = (ϵ_{1}, ϵ_{2}, ϵ_{3}) in base al metodo di sincronizzazione prescelto in funzione delle a(v), b(v), d(v) che invece vanno determinati con esperimenti o in base a ulteriori ipotesi restrittive sulla classe delle leggi fisiche in vigore tra i due sistemi di riferimento.

Seguendo la falsa riga del metodo seguito nel caso unidimensionale si trova che^{3}, nel caso del metodo di sincronizzazione per trasporto S_{T}

ϵ⃗_{T} = (\frac{1}{b(v)} \frac{da(v)}{dv}, 0, 0)  (2.18)

nel caso del metodo di sincronizzazione di Einstain S_{T}

ϵ⃗_{E} = (−\frac{a(v)v}{b(1 − v^{2})}, 0, 0)  (2.19)

nel caso del metodo di sincronizzazione con gli orologi del sistema dell’ etere S_{A}

ϵ⃗_{A} = 0 = (0, 0, 0)  (2.20)

3I calcoli estesi dei risultati di seguito esposti possono essere trovati nella sezione A.1.2

È possibile dare una rappresentazione matematica succinta delle 2.17 in forma vettoriale nella seguente rappresentazione

t = aT + ϵ⃗ · x⃗  (2.21a)
x⃗ = dX⃗ + \frac{b − d}{v^{2}}v⃗(v⃗ · x⃗) − bv⃗T  (2.21b)

e, considerando a tutti gli effetti che ne il metodo del trasporto ne quello di Einstain introducono nuove direzioni privileggiate in S deve essere che ϵ⃗ ∥ v⃗ ∥ x̂ e si può dunque porre ϵ_{2} = ϵ_{3} = 0.

A questo punto abbiamo tutti gli strumenti adatti a calcolare teoricamente la velocità di un raggio di luce in funzione dell’ angolo θ di propagazione rispetto all’ asse delle x. Invertendo le 2.17 e trasformando il cono di luce X^{2} + Y^{2} − c^{2}T^{2} = 0 in S si ottiene che

\sqrt{v^{2} + \frac{2 a v cos(θ)}{b} − 2 e v^{2} cos(θ) + \frac{a^{2} cos(θ)^{2}}{b^{2}} − \frac{2 a e v cos(θ)^{2}}{b} + e^{2} v^{2} cos(θ)^{2}−}

\frac{−4 e2 v^{2} sin(θ) − \frac{4 a e2 v cos(θ) sin(θ)}{b} + 4 e e2 v^{2} cos(θ) sin(θ) + \frac{a^{2} sin(θ)^{2}}{d^{2}} + 4 e2^{2} v^{2} sin(θ)^{2}}{\sqrt{1 − 2 e cos(θ) + e^{2} cos(θ)^{2} − 4 e2 sin(θ) + 4 e e2 cos(θ) sin(θ) + 4 e2^{2} sin(θ)^{2}}} (2.22)

Questa^{4} è l’ espressione generale della one way light velocity in cui non si è ancora specializzato il tipo di metodo di trasporto da utilizzare. Specializzandolo per S_{T} si ha che^{5}

c(θ) = 1 − (1 + 2α)v cos(θ)  (2.23)

Specializzando il risultato per S_{E} si ha che^{6}

c(θ) = 1 − (1 + α − β) v^{2} + (−\frac{1}{2} + β + δ) v^{2} sin^{2}(θ)  (2.24)

Da queste si osserva che tramite S_{T} sono osservabili solo effetti dell’ ordine di v per la velocità della luce mentre con S_{E} tali termini non appaiono ma appaiono effetti del secondo ordine.

4La 2.22 è strutturalmente differente da quella ottenuta in [2] ma dovrebbe essere uguale una volta riorganizzati i vari termini. I risultati sono infatti sostanzialmente compatibili tranne errori da verificare

5I calcoli da me ottenuti hanno dato c(θ) = 1 + (1 + 2α)v cos(θ)

6I calcoli da me ottenuti danno c(θ) = 1 − (1 + α + β) v^{2} + ( \frac{1}{2} − β + δ) v^{2} sin^{2}(θ) e non so proprio se sono sbagliati infatti in [4] ottengono un risultato simile con \frac{1}{2} + δ − β come coefficiente per il termine angolare in v^{2}

Appendice A

Calcoli estesi

A.1 Calcoli relativi al test della relatività ristretta (par. 2.3.2)

A.1.1 Modello unidimensionale

S eguendo il percorso del paragrafo 2.3.2 partiamo dalla 2.1 e abbandoniamo completamente l’ assunto che a(v) e b(v) possano essere i valori dati dalla teoria della S.R. e lasciamoli per ora indeterminati. Vediamo quindi di ricavarci per esteso la formula 2.5 nel caso di sincronizzazione dovuta a trasporto degli orologi e successivamente la 2.6 nel caso di sincronizzazione con il metodo di Einstain.

Consideriamo dunque un orologio in S che si sposta rispetto a S con velocità u piccola se confrontata con c lungo l’ asse delle x che viene usato per sincronizzare gli orologi di S con il metodo S_{T}. Si ha allora che

x = ut ⟹ t = a(v)T + ϵ(v)ut ⟹ t = \frac{a(v)T}{1 − ϵ(v)u} e sostituendo alla seconda delle 2.1

u\frac{a(v)T}{1 − ϵ(v)u} = b(v)X − b(v)T ⟹ X = T [\frac{a(v)u}{[1 − ϵ(v)u]b(v)} + v]

d’ altra parte u è piccola e possiamo allora sviluppare questa espressione in serie di u. Sviluppando il solo termine \frac{au}{(1−ϵu)b} si ha che

\begin{aligned}\frac{d}{du} (\frac{au}{(1 − ϵu)b})|_{u=0} & = \frac{a(1 − ϵu)b + auϵb}{(1 − ϵu)^{2}b^{2}} |_{u=0} = \frac{ab}{(1 − ϵu)^{2}b^{2}} |_{u=0} = \frac{a}{b} \\ \frac{d^{2}}{du^{2}} (\frac{au}{(1 − ϵu)b})|_{u_{0}} & = \frac{ab^{2}(1 − ϵu)bϵ}{(1 − ϵu)^{4}b^{4}} |_{u=0} = \frac{2ab^{2}ϵ}{b^{4}} = \frac{2aϵ}{b^{2}} \end{aligned} e dunque

\frac{au}{(1 − ϵu)}b = \frac{a}{b}u + \frac{2aϵ}{b^{2}}u + o(u^{3})  (A.1)

e tralasciando i termini superiori a u si ha che

X ≃ T (\frac{au}{b} + v) = wT, w =^{def.} (\frac{au}{b} + v)  (A.2)

Passiamo ora a considerare l’ orologio in moto in S come fermo nell’ origine di un sistema di riferimento S′(t′, x′) solidale con esso in moto con velocità relativa w rispetto a Σ”. Per il tempo t′ che batte l’ orologio si ha che

t′|_{x′=0} = a(w)T + ϵ(w) x′|_{x′=0} = a(w)T  (A.3)

ma, il fatto che stiamo sincronizzando gli orologi di S utilizzando l’ orologio in quiete in S′ impone che t′(x) = t(x) per ogni x e dunque

t = a(v)T + ϵ_{T} (v)x = a(w)T = t′  (A.4)

dove abbiamo aggiunto il pedice T ad indicare che si tratta di sincronizzazione per trasporto. Sostituendo la A.2 nella seconda delle 2.1 si ha che

x = b(v) (T \frac{a(v)u}{b(v)} + tv − vt) = a(v)uT e sostituendo nella A.4

a(v)T + ϵ_{T} (v)a(v)uT = a(w)T e dunque

ϵ_{T} (v) = \frac{a(w) − a(v)}{ua(v)}  (A.5)

Ora, abbiamo visto che il moto dell’ orologio in S appare lento e quindi, visto da Σ si ha che w ≃ u e dunque si puo scrivere che

\frac{a(w) − a(v)}{w − u} ≃ \frac{da(v)}{dv} e d’ altra parte, per la A.2

\frac{a(v)u}{b(v)} ≃ w ⟹ w \frac{a(v)}{b(v)} = w − u e dunque

a(w) − a(v) ≃ \frac{da(v)}{dv} \frac{a(v)}{b(v)}u e sostituendo nella A.5 si ha infine la 2.5 che qui riscriviamo

ϵ_{T} (v) = \frac{1}{b(v)} \frac{da(v)}{dv}  (A.6)

Passiamo ora ai calcoli della formula 2.6 relativi alla metodologia di trasporto descritta da Einstain. Consideriamo questa volta due orologi fermi in due punti A e B del sistema di riferiemento S in moto rispetto a Σ con velocità V e supponiamo che a t = 0 l’ orologio in A invia un segnale di sincronismo all’ orologio in B che riceve detto segnale al tempo t_{1}. Immediatamente l’ orologio in B invia un impulso elettromagnetico di risposta all’ orologio in A che lo riceve al tempo t_{2}. Per la sincronizzazione degli orologi si deve imporre che t_{2} = 2t_{1}.

Per A si ha che t_{2} = a(v)T_{2} + ϵ_{E} x|_{x=0} = a(v)T_{2} Per B si ha che t_{1} = a(v)T_{1} + ϵ_{E}x_{1} ⟹ a(v)T_{1} + ϵ_{E}x_{1} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2}a(v)T_{2}

D’ altra parte, da considerazione geometriche sui grafici spazio-temporali della situazione descritta sopra come vista da Σ, si ricava che

x_{1} = b(v)(X_{1} − vT_{1})  (A.7a)
X_{1} = T_{1}  equazione propagazione luce da A a B  (A.7b)
X_{2} = vT_{2}  moto dell’ orologio in A  (A.7c)
X_{1} − X_{2} = T_{2} − T_{1}  equazione retta di progagazione luce da B a A (A.7d)

A.1. CALCOLI RELATIVI AL TEST DELLA RELATIVITÀ RISTRETTA (PAR. 2.3.2)13

si ha dunque che

a(v)T_{1} + ϵ_{E}(1 − v)T_{1} = \frac{1}{2}a(v)\frac{X_{2}}{v} ma dalla A.7d si ha che

X_{2} = X_{1} − T_{2} + T_{1} = T_{1} + T_{1} − \frac{X_{2}}{v} ⟹ \frac{1 + v}{v} X_{2} = 2T_{1} ⟹ X_{2} = \frac{2v}{1 − v} T_{1}

e sostituita sopra

a(v)T_{1} + ϵ_{E}b(v)(1 − v)T_{1} = \frac{v}{1 + v} T_{1}a(v) da cui si ottiene la 2.6 che riscriviamo

ϵ_{E}(v) = −\frac{v}{1 − v^{2}} \frac{a(v)}{b(v)}  (A.8)

La relazione di ugualianza 2.8 viene fuori dalla 2.7 tramite una semplice integrazione infatti

ϵ_{E} = −\frac{va(v)}{b(v)(1 − v^{2})} = ϵ_{T} = \frac{1}{b(v)} \frac{da(v)}{dv} ⟹ \frac{d a(v)}{a(v)} = \frac{v}{1 − v^{2}} d v e integrando

ln a(v) = \frac{1}{2} ln(1 − v^{2}) da cui proprio la 2.8.

A.1.2 Modello tridimensionale

Mostriamo innanzitutto alcuni calcoli non propriamente banali relativi alle formule 2.19 e 2.18 iniziando proprio da quest’ ultima. La prima componente è banale in quanto ricalca completamente il calcolo unidimensionale. Mostriamo invece l’ annullarsi delle altre due componenti, per esempio per la componente lungo l’ asse y che è comunque, come ragionamento, identico a quella lungo l’ asse z. Per il moto dell’ orologio di sincrionizzazione lungo l’ asse y si ha che

y = ut ⟹ Y = \frac{uT}{d} ma lungo y si ha che

t = aT + ϵ_{2}y = aT + ϵut  e dunque t = \frac{a}{1 − ϵ_{2}ut}T  e sostituendo

Y = \frac{u}{d} \frac{a}{1 − ϵ_{2}ut}T ≃ \frac{1}{d}(au)T = wT,  w =^{def} \frac{au}{d}  (A.9)

ove si è utilizzata la relazione di approssimazione A.1. Continuando a seguire la falsa riga del modello unidimensionale sui ha che per S′ solidale con l’ orologio t′|_{x′=0,y′=0,z′=0} = a(w)T e richiedendo che t′ = t si ha che a(w)T = a(v)T + ϵ_{2}y = a(v)T + ϵ_{2}d(v)Y = a(v)T + ϵ_{2}d(v)wT e dunque

ϵ_{2} = \frac{a(w) − a(v)}{d(v)w} e utilizzando la A.9 si ha che

ϵ_{2} = \frac{a(w) − a(v)}{d(v)} \frac{d(v)}{a(v)u} = \frac{a(w) − a(v)}{a(v)u} = \frac{a(w)}{a(v)u} − \frac{1}{u}

ma, come per il caso unidimensionale, quando w ≃ v ⟹ \frac{a(w)}{a(v)} ≃ 1 e dunque la componente sull’ asse y del vettore ϵ⃗ si annulla. Identiche considerazioni portano ad annulare anche la componente lungo z e ciò prova la 2.18.

Analizzando invece la situazione per S_{T} si trova analogamente che la prima componente è ovviamente verificata dal metodo unidimensionale sopra introdotto e che anche le altre due componenti della 2.19 sono semplicemente verificate seguendo il metodo tracciato dal caso unidimensionale.

Mostriamo ora l’ ugualianza delle 2.21 con le 2.17 e in particolare la 2.21b con le relative componenti spaziali della 2.17 in quanto la componente temporale mi sembra banalmente verificata sviluppando il prodotto vettoriale. Proiettiamo allora la 2.21b lungo l’ asse x

x⃗ · x̂ = dX⃗ · x̂ + \frac{b − d}{v^{2}}(v⃗ · x̂)(v⃗ · X⃗) − bv⃗ · x̂T ma x̂ ≡ X̂ e dunque

x = dX + \frac{b − d}{v^{2}}v ∗ vX − bvT = dX − bX − dX − bvt = b(X − vT)

che è la 2.17b mentre lungo y (e lungo z)

x⃗ · ŷ = dX⃗ · ŷ + \frac{b − d}{v^{2}}(v⃗ · ŷ)(vX) − bv⃗ · ŷT

ed essendo v⃗ ∥ x̂ ciò dimostra l’ ugualianza con la 2.17b.

Passiamo ora alla parte più difficoltosa della sezione 2.3.3 ossia quella che porta alla 2.22 fino a giungere alle 2.24 e 2.23. Come gia accennato nella sezione 2.3.3, per ottenere la 2.22 è necessario invertire le 2.17 e trasformare il cono di luce X^{2} + Y^{2} − c^{2}T^{2} = 0 in S in relazione anche all’ angolo theta. Questo è ciò che ci apprestiamo a fare iniziando scrivendo le 2.17 nella loro forma inversa^{1}

t = \frac{ct − ϵ_{1}x − ϵ_{2}x − ϵ_{2}z}{a}  (A.10a)
X = \frac{x}{b} + \frac{v(ct − ϵ_{1}x − ϵ_{2}y − ϵ_{2}z)}{a}  (A.10b)
Y = \frac{y}{d}  (A.10c)
Z = \frac{z}{d}  (A.10d)

ove si è supposta una totale simmetria tra l’ asse delle y e l’ asse delle z in modo da poter porre ϵ_{3} = ϵ_{2}. Si supponga, senza perdita di generalita in quanto implica solo una rotazione opportuna del sistema Σ ( e dunque del sistema S), che il fascio luminoso di cui si vuole calcolare la velocità della luce sia situato su solo piano XY cosi che l’ equazione del cono di luce a cui esso appartiene sia

X^{2} ∗ Y^{2} − c^{2}T^{2} = 0  (A.11)

Nella A.11 e nella A.10 ci si accorge che si è reintrodotta la costante c ossia si è eliminato il fattore di scala che rendeva c = 1 nel sistema Σ in modo da calcolare c con il giusto fattore di scala.

Applicando le A.10 nell’ equazione del cono di luce A.11 trasformando ossia il cono di

1I calcoli relativi alla 2.22 sono stati sviluppati utilizzando Mathematica^{®} in quanto essi risultavano sufficientemente lunghi e tediosi, nonostante la loro globale semplicità algebrica, da essere inutile imbarcarsi nel loro approccio manuale. I risultati sono ottenuti tramite il seguente notebook di Mathematica^{®}

Solve[{c*t==a*T+e*x+e2*(y+z),x==b*(X-v*T),y==d*Y,z==d*Z},{T,X,Y,Z}]
X^2+Y^2-c^2*T^2 .  %
%  . {x->c*t*Cos[theta],y->c*t*Sin[theta],z->c*t*Sin[theta]}
Together[%]
Collect[%,t]
% .  t->1
Collect[%,c]
% . {c^2->1,c^4->m^2}
Solve[%==0,m]
%[[2,1,2]] . {a->1+alpha*v^2,e2->0}
Simplify[%]
% . {b->1,d->1,e->2*alpha*v}
Series[%,{v,0,1}]
Normal[%]
Simplify[%]
%15[[2,1,2]] /. {e->-a*v(b(1-v^2)),e2->0}
% //. {b->1+beta*v^2,d->1+delta*v^2,a->1+alpha*v^2}
Series[1%,{v,0,2}]
Normal[%]
Simplify[%]
% .  Cos[2*theta] -> 1-2*Sin[theta]^2
Factor[%]
ExpandAll[%]

luce come visto in Σ nel cono di luce come visto in S si ha che

\frac{y^{2}}{d^{2}} − \frac{c^{2} (c t − e x − e2 y − e2 z)^{2}}{a^{2}} + (\frac{x}{b} + \frac{v (c t − e x − e2 y − e2 z)}{a})^{2} = 0  (A.12)

Ora, detto con θ l’ angolo con cui viene visto propagarsi il raggio di luce in S si ha che, per esso, valgono le usuali relazioni trigonometriche

x = ct cos(θ)  (A.13a)
y = ct sin(θ)  (A.13b)
z = ct sin(θ)  (A.13c)

e sostituite nella A.12 si ha che

\frac{c^{2}t^{2} sin^{2}(θ)}{d^{2}} − \frac{c^{2}(ct − cϵ_{1}t cos(θ) − 2cϵ_{2}t sin^{2}(θ)}{a^{2}} +

(\frac{ct cos(θ)}{b} + \frac{v(ct − cϵ_{1}t cos(θ) − 2cϵ_{2}t sin(θ))}{a}) = 0  (A.14)

Ora, raccogliendo t

t^{2} (−\frac{c^{4}}{a^{2}} + \frac{c^{2} v^{2}}{a^{2}} + \frac{2 c^{4} e cos(θ)}{a^{2}} + \frac{2 c^{2} v cos(θ)}{a b} − \frac{2 c^{2} e v^{2} cos(θ)}{a^{2}}+

+\frac{c^{2} cos(θ)^{2}}{b^{2}} − \frac{c^{4} e^{2} cos(θ)^{2}}{a^{2}} − \frac{2 c^{2} e v cos(θ)^{2}}{a b} + \frac{c^{2} e^{2} v^{2} cos(θ)^{2}}{a^{2}} +

+\frac{4 c^{4} e2 sin(θ)}{a^{2}} − \frac{4 c^{2} e2 v^{2} sin(θ)}{a^{2}} − \frac{4 c^{4} e e2 cos(θ) sin(θ)}{a^{2}} −

−\frac{4 c^{2} e2 v cos(θ) sin(θ)}{a b} + \frac{4 c^{2} e e2 v^{2} cos(θ) sin(θ)}{a^{2}} + \frac{c^{2} sin(θ)^{2}}{d^{2}} −

−\frac{4 c^{4} e2^{2} sin(θ)^{2}}{a^{2}} + \frac{4 c^{2} e2^{2} v^{2} sin(θ)^{2}}{a^{2}} ) = 0  (A.15)

ci si accorge che esso e semplificabile e dunque l’ equazione restante non contiene alcun termine con coefficienti spazio-temporali e dunque c è indipendente dalla posizione di lettura e dall’ istante ma dipende solo dalla velocità di S rispetto a Σ e dalla direzione rispetto alla direzione privilegiata di S v⃗.

Continuando con i nostri calcoli e raccogliendo c

c^{4} (−a^{−2} + \frac{2 e cos(θ)}{a^{2}} − \frac{e^{2} cos(θ)^{2}}{a^{2}} + \frac{4 e2 sin(θ)}{a^{2}} − \frac{4 e e2 cos(θ) sin(θ)}{a^{2}}−

−\frac{4 e2^{2} sin(θ)^{2}}{a^{2}} ) + c^{2} (\frac{v^{2}}{a^{2}} + \frac{2 v cos(θ)}{a b} − \frac{2 e v^{2} cos(θ)}{a^{2}} + \frac{cos(θ)^{2}}{b^{2}} −

+\frac{2 e v cos(θ)^{2}}{a b} + \frac{e^{2} v^{2} cos(θ)^{2}}{a^{2}} − \frac{4 e2 v^{2} sin(θ)}{a^{2}} − \frac{4 e2 v cos(θ) sin(θ)}{a b} +

+ \frac{4 e e2 v^{2} cos(θ) sin(θ)}{a^{2}} + \frac{sin(θ)^{2}}{d^{2}} + \frac{4 e2^{2} v^{2} sin(θ)^{2}}{a^{2}} ) = 0  (A.16)

ci si accorge che in realtà l’ equazione risulta essere di secondo grado senza il termine in primo e soddisfa a due soluzioni di cui una negativa, da scartare, e una positiva che è il risultato cercato. Risolvendo dunque rispetto a c e trattenendo il solo termine positivo si ha che

\sqrt{v^{2} + \frac{2 a v cos(θ)}{b} − 2 e v^{2} cos(θ) + \frac{a^{2} cos(θ)^{2}}{b^{2}} − \frac{2 a e v cos(θ)^{2}}{b} + e^{2} v^{2} cos(θ)^{2}−}

\frac{−4 e2 v^{2} sin(θ) − \frac{4 a e2 v cos(θ) sin(θ)}{b} + 4 e e2 v^{2} cos(θ) sin(θ) + \frac{a^{2} sin(θ)^{2}}{d^{2}} + 4 e2^{2} v^{2} sin(θ)^{2}}{\sqrt{1 − 2 e cos(θ) + e^{2} cos(θ)^{2} − 4 e2 sin(θ) + 4 e e2 cos(θ) sin(θ) + 4 e2^{2} sin(θ)^{2}}} (A.17)

La A.17 è l’ espressione più generale per la one-way light velocity in quanto non è stata ancora specificata la metodologia di sincronizzazione degli orologi nella nostra teoria. Andiamo a specializzarla iniziando dal caso di S_{T}. Si ha allora che, sostituendo a ϵ_{2} = 0, a b = d = 1 e sviluppando a in serie di v^{2} come

a = 1 + αv^{2} + o(v^{2})  (A.18)

da cui ϵ_{1} = 2αv si ha che la A.17 diventa

c =

\sqrt{v^{2} − 4 α v^{3} cos(θ) + 2 v (1 + α v^{2}) cos(θ) + 4 α^{2} v^{4} cos(θ)^{2}−}

\frac{−4 α v^{2} (1 + α v^{2}) cos(θ)^{2} + (1 + α v^{2})^{2} cos(θ)^{2} + (1 + α v^{2})^{2} sin(θ)^{2}}{\sqrt{(−1 + 2 α v cos(θ))^{2}}} (A.19)

che, sviluppata in serie di v al primo ordine da che

c = \sqrt{cos(θ)^{2} + sin(θ)^{2}} + (\frac{cos(θ)}{\sqrt{cos(θ)^{2} + sin(θ)^{2}}} + 2 α cos(θ) \sqrt{cos(θ)^{2} + sin(θ)^{2}}) v

(A.20)

e si può vedere che non esistono termini al secondo ordine in v. Semplificando si ottiene proprio la 2.24 che qui riscriviamo

c(θ) = 1 + (1 + 2α)v cos(θ)  (A.21)

Passando al calcolo nel caso di S_{E} si ha che, sostituendo nella A.17 ϵ_{2} = 0, inserendo per ϵ_{1} il valore trovato nella 2.19 e sviluppando a, b e d in serie di v^{2} come

a = 1 + αv^{2} + O(v^{2})  (A.22a)
b = 1 + βv^{2} + O(v^{2})  (A.22b)
d = 1 + δv^{2} + O(v^{2})  (A.22c)

18 APPENDICE A. CALCOLI ESTESI si ha che

c =

\sqrt{v^{2} + \frac{2 v (1+α v^{2}) cos(θ)}{1+β v^{2}} + \frac{2 v^{3} (1+α v^{2}) cos(θ)}{(1−v^{2}) (1+β v^{2})} + \begin{matrix}(1+α v^{2})^{2} & cos(θ)^{2} \\ (1+β v^{2}) & ^{2} \end{matrix} +}
\frac{\overline{+\begin{matrix}v^{4} & (1+α v^{2})^{2} & cos(θ)^{2} \\ (1−v^{2})^{2} & (1+β v^{2})^{2} \end{matrix} + \frac{2 v^{2} (1+α v^{2})^{2} cos(θ)^{2}}{(1−v^{2}) (1+β v^{2})^{2}} + \begin{matrix}(1+α v^{2})^{2} & sin(θ)^{2} \\ (1+δ v^{2}) & ^{2} \end{matrix}}}{\sqrt{1 + \frac{2 v (1+α v^{2}) cos(θ)}{(1−v^{2}) (1+β v^{2})} + \begin{matrix}v^{2} & (1+α v^{2})^{2} & cos(θ)^{2} \\ (1−v^{2})^{2} & (1+β v^{2})^{2} \end{matrix}}} (A.23)

e sviluppando in serie di v fino al secondo grado si ha che

c = \frac{1}{\sqrt{cos(θ)^{2} + sin(θ)^{2}}} − (\frac{cos(θ)}{(cos(θ)^{2} + sin(θ)^{2})^{\frac{3}{2}}} − \frac{cos(θ)}{\sqrt{cos(θ)^{2} + sin(θ)^{2}}} ) v −

− (\begin{matrix}cos(θ) & 2 \\ (cos(θ)^{2} + sin(θ)^{2}) & \frac{3}{2} \end{matrix} −

− \frac{\frac{3 cos(θ)^{2}}{(cos(θ)^{2}+sin(θ)^{2})^{2}} − \frac{1+2 cos(θ)^{2}+(2 α−2 β) cos(θ)^{2}+(2 α−2 δ) sin(θ)^{2}}{cos(θ)^{2}+sin(θ)^{2}}}{2 \sqrt{cos(θ)^{2} + sin(θ)^{2}}} ) v^{2}  (A.24)

e semplificando le espressioni trigonometriche si ottiene proprio la 2.24 che qui riscriviamo

c(θ) = 1 − (1 + α + β) v^{2} + (\frac{1}{2} − β + δ) v^{2} sin^{2}(θ)  (A.25)

Bibliografia

[1] Lorentz, Einstain e Minkowski, Das Relativita̋tsprinzie (Darmstadt 1958).

[2] Mansouri R. e Sexl R. U., (1977). Gen. Rel. and Grav.,8, pp. 497-513.

[3] Eddington, A.S. (1924) The Matematical Teory of Relativity, Cambrige University Press, Cambridge U.K.

[4] T.P. Krisher et al. (1990), Pysical RevD, Vol. 42,2 pp731-734