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Molto spesso, in meccanica quantistica, si è soliti costruire una azione che risulta
invariante sotto alcune leggi della natura che vengono determinate dagli
esperimenti. Questo programma ci porta a descrivere con successo le
interazioni fondamentali.
Ma noi sappiamo bene che una trattazione completa non può fermarsi alla sola
scrittura dell' azione ma deve giungere all' elaborazione dell' integrale di
cammino di Feynmann. Tale passaggio può essere cosi riassunto
- costruzione dell' azione;
- esponenziazione dell' azione;
- sua integrazione funzionale.
Ora, dal punto di vista classico tale procedura è molto naturale e ben definita ma
può portare a brutte conseguenze se non attentamente ponderata.
Si è costruita l' azione in modo che rifletta alcune simmetrie della natura
ma si è preso per buono che si possa integrare su di essa in modo consistente
con queste simmetrie.
Per esempio, nel caso delle teorie di Gauge, per evitare i
problemi or ora menzionati, si è dovuto fare ricorso a piccoli aggiustamenti
definendo l' integrale modulo le condizioni di gauge eliminando le altre fisicamente
equivalenti. In tale caso siamo stati aiutati dall' introduzione di nuovi gradi di
libertà, i fantasmi di Fadden-Popov, che hanno messo in evidenza le integrazioni
in sovrannumero permettendo di conglobarle nella costante di normalizzazione.
Questo miracolo è avvenuto grazie al pagamento del modesto prezzo della perdita
delle simmetrie iniziali dell' azione e alla loro conglobazione nelle più generiche BRS
che diventano le simmetrie dell F.P.I.
Analogamente, nello studio della
teoria e di Yang-Mills si vede che, per rendere la teoria
finita, si deve introdurre un parametro di scala  anche se la teoria classica
di partenza è massless. Ciò comporta che, mentre l' azione è
invariante per trasformazioni di scala, l' integrale di Feynmann deve
perdere tale simmetria per rendere la teoria finita.
Def. Anomalo Si dice che un operatore di simmetria è anomalo se esso risulta
una simmetria esatta per l' azione classica che però non viene preservata
come simmetria nell' F.P.I.
È ovvio però che tale definizione è antropica nel senso che la natura
non possiede il limite classico ma è utile in quanto, per i fisici, la
costruzione di un integrale di cammino parte proprio da tale limite e risulta perciò
un concetto molto importante per la comprensione della meccanica quantistica.
La presenza di anomalie ha conseguenze fisiche molto importanti. Di esse se ne possono
distinguere sostanzialmente due tipi:
- quando l' anomalia non è necessaria a stabilire la rinormalizzabilità
della teoria ossia quando la simmetria anomala è globale allora essa contribuisce
in modo finito al processo fisico. Esempi sono il calcolo del tempo di decadimento del processo
 o il ben più importante asimptotic freedom nella
QCD. È proprio a causa dell' anomalia nell' invarianza di scala classica che
porta alla variazione di  con la scala e dunque alla succitata asymptotic freedom.
Questa classe di anomalie sono per cosi dire delle ``buone'' anomalie;
- quando invece le anomalie affliggono delle simmetrie necessarie alla
rinormalizzazione della teoria esse sono ``cattive'' anomalie in quanto la loro presenza
distrugge la possibilità di costruire un integrale di cammino con valore finito.
In quattro dimensioni la sola anomalia in tal senso è quella chiriale di Gauge
sui fermioni
Ma che cosa può andare male nel processo di integrazione dell' azione di modo
che da una  invariante sotto un operatore di simmetria il corrispondente
integrale di cammino venga a perdere tale simmetria?
I problemi possono nascere o nella misura di integrazione o nella specificazione
delle condizioni al contorno. Ovviamente può anche anche accadere che l' integrale
di cammino semplicemente non esista. A quest' ultimo caso corrispondono molto
probabilmente quelle anomalie cattive che rendono la teoria non rinormalizzabile.
Al caso delle condizioni al contorno corrispondono le anomalie così dette
globali. Un esempio può essere il caso in cui l' integrale di cammino, a causa
delle condizioni al contorno, valga zero. Questo caso è ben conosciuto nelle
normali integrazioni. Se l' integrando è antisimmetrico sotto parità
l' integrale varrà zero se gli estremi di integrazione sono su di un intervallo
simmetrico. Interessiamoci invece del primo caso.
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