Sei in Home page » Documentazione » Le anomalie quantistiche |
Next: Bibliography Up: Anomalie quantistiche Previous: La simmetria chiriale e L' anomalia ABJ con il metodo perturbativoVediamo ora di attaccare lo stesso problema utilizzando il metodo perturbativo dei diagrammi di Feynman alla maniera di Adler [1]. Riscriviamo la I.15 nella forma
e con i grafi a due linee fermioniche esterne conteneni un vertice tale che
Allora se si considera l' usuale equazione del moto si ottiene,come visto sopra per la divergenza il valore errato I.8. Da questa espressione si possono ricavare le così dette Ward identities utilizzando la [5] _0| j_^5(x)_i_i(x_i)|0&= &0|_j_^5(x)_i_i(x_i)|0- & &-i_i(x-x_i)0|_i(x_i)_ji_j(x_j)|0 Esplicitando tale formula in questo caso e ricordando la I.8 si ha che dove l' ultima si ha ricordando la I.5. Passando ora allo spazio di Fourier e dimenticando le costanti di normalizzazione che si semplificano ad ambo i termini si ha che Ora, nel membro a sinistra e nel primo membro a destra si può eseguire tranquillamente il limite senza problemi, negli ultimi due membri di sinistra si può formalmente sostituire al limite per rispettivamente un limite per e uno per senza che nulla cambi per cui si ha che per cui le ward identities nello spazio di Fourier possono essere scritte come e quindi Ciò che intendiamo mostrare ora è che queste non valgono in un calcolo perturbativo e che il termine aggiuntivo è proprio il termine anomalo della I.49. Nell' idea di sviluppare le Ward identities in un ambito perturbativo scriviamo
dove
Ora, allo scopo di derivare le I.61 in modo diagrammatico si può operare una classificazione dei diagrammi che contribuiscono a formare in due classi:
ha solo due fotoni uscenti e dunque esso risulta linearmente divergente e quindi l' operazione di ridefinizione dell' integrale sul loop non è più lecita. Ciò che accade dunque, per questo diagramma, è che detto con il grafo a triangolo con le linee esterne segate ossia tale che
Come già detto questi integrali risultano linearmente divergenti in quattro dimensioni. L' idea immediata sarebbe di valutare la traccia e poi l' integrale ma dato che si lavora nell' ambito della regolarizzazione dimensionale ciò non funziona perchè la risulta definita solo in quattro dimensioni e non in un numero arbitrario. Certo esiste un modo di generalizzare [6] la definizione di che porta al risultato voluto ma noi, per i nostri scopi, sceglieremo un' altra strada. Valuteremo prima l' integrale, lo moltiplicheremo per i momenti esterni ossia estrarremo la divergenza di e ciò che rimarrà sara la traccia di con indici sommati sui momenti esterni ossia somme su indici quadridimensionali. A quel punto potremo valutare la traccia in quattro dimensioni. Iniziamo dunque valutando l' integrale I.64 in dimensioni. Ricordando che [7]
T^(2)_&=& 2e^2^3(2-) _0^1dx_0^1-xdy d^2(2)^2- __(p_-q_)+ __(p_-q_) [^2+2s +b^2]^3· & &·Tr[_5___ __] T^(3)_&=& 2e^2^3(2-) _0^1dx_0^1-xdy d^2(2)^2- -_(p_q_-q_p_) [^2+2s +b^2]^3· & &·Tr[_5___ __] e d' altra parte, ricordando che d^2(2)^2- _[^2+2s +b^2]^3&=& -(3-)(4)^(3)s_(b^2-s^2)^ 3- d^2(2)^2- __[^2+2s +b^2]^3&=& 1(4)^(3){12_ (2-)(b^2-s^2)^2-+. & &.+(3-) s_s_(b^2-s^2)^3-} mentre, derivando ulteriormente rispetto a la d^2(2)^2- __[^2+2s +b^2]^A&=& 1(4)^(A){12_ (A-1-)(b^2-s^2)^A-1-+. & &.+(A-) s_s_(b^2-s^2)^A-} si ha che e dividendo tutto per e posto si ha che d^2(2)^2- ^2_[^2+2s +b^2]^A&=&- 1(4)^(A){ s_(b^2-s^2)^A-1-(A-)(+1)+. &&.+ (A-)s^2 s_(b^2-s^2)^A-}. Partiamo allora con il calcolare ; utilizzando proprio quest' ultima formula e chiamando con
& &-2____+ 2____- 2____- _____ e inserito questo risultato nel termine della seconda traccia proporzionale a produce, a parte il segno, come ultimo termine proprio quello proporzionale a elidendolo. Si ha dunque che d' altra parte anche per questi termini vale il fatto che si può anticommutare senza il termine con la delta per cui per cui il secondo e il quarto si elidono a vicenda. Passiamo a regolarizzare i termini rimasti e dunque ordini finiti si ha che
Passiamo infine a calcolare utilizzando la I.73 e con lo stesso metodo utilizzato sopra si giunge a e regolarizzando anche questo termine e quindi ordini finiti si ha che
Vediamo allora di risommare i vari termini ordine per ordine. Ordini si ha che Per cui nonostante e siano singolarmente divergenti per la loro somma da contributi finiti nel limite per cui, in tale limite, il diagramma a triangolo risulta convergente. Allora in tale limite l' unico termine che risulta non nullo e che dunque contribuisce alla corrente assiale è il termine indipendente da che si deve ora sommare. Osserviamo innanzitutto che esistono, in tale termine, contributi lineare in , lineari in e termini di grado maggiore. Ora, ciò che a noi interessa sarà la divergenza sugli impulsi esterni del grafico I.62 ossia il termine per cui i pezzi non lineari di spariscono in quanto sommando su la traccia tira fuori delle e dunque termini contenenti gli impulsi esterni in grado maggiore al primo si annullano. Ci si può allora dimenticare tranquillamente delle varie traccie contenenti i prodotti di , e Ciò che rimane al termine del calcolo sono allora i termini proporzionali a in e i termini proporzionali a in Possiamo a questo punto eliminare ulteriormente i termini contenenti il logaritmo con la seguente considerazione: tali diagrammi contengono, così come sono una divergenza infrarossa ma, come la I.62 non contiene divergenze ultraviolette si può anche dimostrare che esso non contiene divergenze infrarosse e dunque tali termini devono necessariamente annullarsi. Allora ciò che resta è il solo termine proporzionale a e quello costante. Sommando i termini proporzionali a si ha che Allora anche il termine proporzionale a è nullo. Resta dunque il termine in contenente il solo e il termine in contenente . Per il calcolo di quest' ultimo termine ritorniamo a monte . Chiamiamo con e con i due termini indipendenti dagli impulsi esterni in e in proporzionali a ossia ora, si può vedere [7] che il primo termine si può riscrivere di modo che e regolarizzando dimenticando il termine in e gli ordini superiori a si ha che e considerando il solo termine indipendente da e calcolando la divergenza della corrente assiale e ricordando la I.42 e visto che, come detto sopra, i termini tralasciati si annullano si ha che d' altra parte i termini simmetrici si annullano per cui e dunque finalmente Allora si vede come calcolando con uno sviluppo perturbativo il termine si ha che i diagrammi del primo tipo danno i termini mentre l' utilizzo dei diagrammi del secondo tipo danno il termine che con quello sopra va a completare il termine delle usuali Ward identities ma oltre a tale termine si aggiunge nello spazio degli impulsi un ulteriore termine anomalo della forma I.82. Allora le usuali Ward identities sono errate e in realtà esse sono della forma
&&=-S_F(p)A_(p)T_(p,q)A_(q)S_F(q) e quindi le Ward identities anomale risultano &(p+q)__^5(p,q) &=2mi_(p,q)+i S^-1_F(p)_5+i_5S^-1_F(q)-iA_(p)A_(q)T_= &&=2mi_(p,q)+i S^-1_F(p)_5+i_5S^-1_F(q)-e^24^2_ p_q_A_(p)A_(q). && Ricordiamo che le I.58 si ricavano dall' espressione della divergenza di . È ovvio allora pensare che tale termine anomalo provenga, nello spazio delle coordinate, proprio dal fatto che la divergenza di non è solo ma qualcos' altro. Mostriamo che una divergenza anomala di della forma I.49 da proprio un termine uguale a quello anomalo contenuto nella I.85. Ricordando l' espressione di e del suo duale si ha che e scritto nello spazio degli impulsi come
|
|
Copyright© 1997-2006 Emiliano Bruni | Online dal 16/08/1998 con visitatori | Scrivimi all'indirizzo: |