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Introduzione

Molto spesso, in meccanica quantistica, si è soliti costruire una azione che risulta invariante sotto alcune leggi della natura che vengono determinate dagli esperimenti. Questo programma ci porta a descrivere con successo le interazioni fondamentali. Ma noi sappiamo bene che una trattazione completa non può fermarsi alla sola scrittura dell' azione ma deve giungere all' elaborazione dell' integrale di cammino di Feynmann. Tale passaggio può essere cosi riassunto
  • costruzione dell' azione;
  • esponenziazione dell' azione;
  • sua integrazione funzionale.
Ora, dal punto di vista classico tale procedura è molto naturale e ben definita ma può portare a brutte conseguenze se non attentamente ponderata. Si è costruita l' azione in modo che rifletta alcune simmetrie della natura ma si è preso per buono che si possa integrare su di essa in modo consistente con queste simmetrie. Per esempio, nel caso delle teorie di Gauge, per evitare i problemi or ora menzionati, si è dovuto fare ricorso a piccoli aggiustamenti definendo l' integrale modulo le condizioni di gauge eliminando le altre fisicamente equivalenti. In tale caso siamo stati aiutati dall' introduzione di nuovi gradi di libertà, i fantasmi di Fadden-Popov, che hanno messo in evidenza le integrazioni in sovrannumero permettendo di conglobarle nella costante di normalizzazione. Questo miracolo è avvenuto grazie al pagamento del modesto prezzo della perdita delle simmetrie iniziali dell' azione e alla loro conglobazione nelle più generiche BRS che diventano le simmetrie dell F.P.I. Analogamente, nello studio della teoria  e di Yang-Mills si vede che, per rendere la teoria finita, si deve introdurre un parametro di scala $\mu$ anche se la teoria classica di partenza è massless. Ciò comporta che, mentre l' azione è invariante per trasformazioni di scala, l' integrale di Feynmann deve perdere tale simmetria per rendere la teoria finita. Def. Anomalo Si dice che un operatore di simmetria è anomalo se esso risulta una simmetria esatta per l' azione classica che però non viene preservata come simmetria nell' F.P.I. È ovvio però che tale definizione è antropica nel senso che la natura non possiede il limite classico ma è utile in quanto, per i fisici, la costruzione di un integrale di cammino parte proprio da tale limite e risulta perciò un concetto molto importante per la comprensione della meccanica quantistica. La presenza di anomalie ha conseguenze fisiche molto importanti. Di esse se ne possono distinguere sostanzialmente due tipi:
  • quando l' anomalia non è necessaria a stabilire la rinormalizzabilità della teoria ossia quando la simmetria anomala è globale allora essa contribuisce in modo finito al processo fisico. Esempi sono il calcolo del tempo di decadimento del processo $\pi^0\rightarrow\gamma\gamma$ o il ben più importante asimptotic freedom nella QCD. È proprio a causa dell' anomalia nell' invarianza di scala classica che porta alla variazione di $g$ con la scala e dunque alla succitata asymptotic freedom. Questa classe di anomalie sono per cosi dire delle ``buone'' anomalie;
  • quando invece le anomalie affliggono delle simmetrie necessarie alla rinormalizzazione della teoria esse sono ``cattive'' anomalie in quanto la loro presenza distrugge la possibilità di costruire un integrale di cammino con valore finito. In quattro dimensioni la sola anomalia in tal senso è quella chiriale di Gauge sui fermioni
Ma che cosa può andare male nel processo di integrazione dell' azione di modo che da una $S_{\rm cl.}$ invariante sotto un operatore di simmetria il corrispondente integrale di cammino venga a perdere tale simmetria? I problemi possono nascere o nella misura di integrazione o nella specificazione delle condizioni al contorno. Ovviamente può anche anche accadere che l' integrale di cammino semplicemente non esista. A quest' ultimo caso corrispondono molto probabilmente quelle anomalie cattive che rendono la teoria non rinormalizzabile. Al caso delle condizioni al contorno corrispondono le anomalie così dette globali. Un esempio può essere il caso in cui l' integrale di cammino, a causa delle condizioni al contorno, valga zero. Questo caso è ben conosciuto nelle normali integrazioni. Se l' integrando è antisimmetrico sotto parità l' integrale varrà zero se gli estremi di integrazione sono su di un intervallo simmetrico. Interessiamoci invece del primo caso.

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