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Le simmetrie interne

Richiamiamo i tipi di simmetrie usuali per la meccanica quantistica. Dapprima abbiamo le simmetrie spazio-temporali come le traslazioni, le trasformazioni di Lorentz, le dilatazioni e le simmetrie conformi. Per esempio l' azione della teoria di Maxwell è invariante sotto un gruppo a quindici parametri che include tutte le succitate simmetre. Come si è poi visto nello studio della teoria  e nelle teorie di gauge l' invarianza di scala viene rotta dalla necessità di rinormalizzare la teoria tramite un parametro di massa $\mu$. Il risultato di tale anomalie è la dipendenza della costante di accoppiamento dalla scala. Ci sono ovviamente altri tipi di simmetrie: le simmetrie interne. Consideriamo la Q.E.D. di un fermione di Dirac $\psi\in(\frac12\oplus\frac12)$ interagente con un potenziale elettromagnetico $A_\mu$ agente come sorgente esterna. La sua azione è data da
\begin{displaymath}
S=\int\,{\rm d}^4x\,\overline{\psi}(\makebox{$\not\hskip-0.35em{D}\,$}+im)\psi\end{displaymath} (1)

dove

\begin{displaymath}D_\mu=\partial_\mu+i A_\mu,\quad \makebox{$\not\hskip-0.35em{D}\,$}=\gamma^\mu D_\mu.\end{displaymath}

La $S$ risulta invariante sotto la trasformazione globale di fase
\begin{displaymath}\psi(x)\longrightarrow\psi'(x)=e^{i\lambda}\psi(x)
\end{displaymath} (2)

e, utilizzando il teorema di Noether questa porta immediatamente ad una corrente
\begin{displaymath}j_\mu=i\overline{\psi}\gamma_\mu\psi\end{displaymath} (3)

conservata ossia tale che $\partial_\mu j^\mu=0$.

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