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L' anomalia ABJ con il metodo perturbativo

Vediamo ora di attaccare lo stesso problema utilizzando il metodo perturbativo dei diagrammi di Feynman alla maniera di Adler [1]. Riscriviamo la I.15 nella forma


\begin{displaymath}
e^{-S}=J[\beta] e^{-S-\int{\rm d}^4x\,\beta(x)(-i\partial_...
...\psi}\gamma_\mu
\gamma_5\psi-2m\overline{\psi}\gamma_5\psi)}
\end{displaymath} (47)

dove l' $e^{-S}$ da graficamente le usuali regole di Feynman per la QED mentre il termine aggiuntivo nella sua parte indipendente da $m$ [*] da, se accoppiato a una sorgente esterna $S_\mu^5$ una nuova regola di vertice della forma
\begin{displaymath}
\vcenter{\psfig{file=verteg5.eps,height=3cm}}
\equiv\mu^{2-\omega}\gamma_\mu\gamma_5
\end{displaymath} (48)

per cui, nel limite $m=0$ la I.51 può essere graficamente scritta come
\begin{displaymath}
\exp\left\{\dsize\sum
\vcenter{\psfig{file=grafiqed.eps,w...
...\sum
\vcenter{\psfig{file=grafig5.eps,width=2em}}
\right\}
\end{displaymath} (49)

per cui
\begin{displaymath}
J[\beta]\simeq\exp\left\{-\dsize\sum
\vcenter{\psfig{file=grafig5.eps,width=2em}}
\right\}.
\end{displaymath} (50)

Chiamiamo nello spazio degli impulsi con $\Gamma^5_\mu(p,q)$ i grafici a due linee fermioniche contenenti un vertice  $\gamma_\mu\gamma_5$
  $\textstyle \vcenter{\psfig{file=blobgmu.eps,width=3.5cm}}$ $\displaystyle =S_F(p)\Gamma_mu^5(p,q)S_F(q)=$  
    $\displaystyle =\displaystyle\int {\rm d}^4x{\rm d}^4y\,
e^{-ipx-iqy}{\langle{0}\vert}\overline{\psi}(x)j_\mu^5(0)\overline{\psi}(y){\vert{0}\rangle}$ (51)

e con $\Gamma^5(p,q)$ i grafi a due linee fermioniche esterne conteneni un vertice $\gamma_5$ tale che
  $\textstyle \vcenter{\psfig{file=blobg5.eps,width=3.5cm}}$ $\displaystyle =S_F(p)\Gamma^5(p,q)S_F(q)=$  
    $\displaystyle =\displaystyle\int {\rm d}^4x{\rm d}^4y\,
e^{-ipx-iqy}{\langle{0}\vert}\overline{\psi}(x)j^5(0)\overline{\psi}(y){\vert{0}\rangle}.$ (52)

Allora se si considera l' usuale equazione del moto si ottiene,come visto sopra per la divergenza il valore errato I.8. Da questa espressione si possono ricavare le così dette Ward identities utilizzando la [5] _0| j_^5(x)_i_i(x_i)|0&= &0|_j_^5(x)_i_i(x_i)|0-
& &-i_i(x-x_i)0|_i(x_i)_ji_j(x_j)|0 Esplicitando tale formula in questo caso e ricordando la I.8 si ha che $\aligned
\lim_{z\to0}
\partial_\mu^z{\langle{0}\vert} \overline{\psi}(x)j_\mu...
...gamma_5\overline{\psi}(y))\overline{\psi}(x){\vert{0}\rangle})\bigr]\endaligned$ dove l' ultima si ha ricordando la I.5. Passando ora allo spazio di Fourier e dimenticando le costanti di normalizzazione che si semplificano ad ambo i termini si ha che $\aligned
&\lim\limits_{z\to 0}\partial_\mu^z \int {\rm d}^4p\,{\rm d}^4q\,
e^...
...t {\rm d}^4p\,{\rm d}^4q\, e^{ipx+iqz}S_F(q+p)\gamma_5\right]}$}}}
\endaligned$ $\aligned
&-\lim\limits_{z\to 0}i(p+q)\int {\rm d}^4p\,{\rm d}^4q\,
e^{ipx+iqy...
...int {\rm d}^4p\,{\rm d}^4q\, e^{ipx+iqz}S_F(q+p)\gamma_5\right]}$}}}\endaligned$ Ora, nel membro a sinistra e nel primo membro a destra si può eseguire tranquillamente il limite senza problemi, negli ultimi due membri di sinistra si può formalmente sostituire al limite per $z\to0$ rispettivamente un limite per $p\to0$ e uno per $q\to0$ senza che nulla cambi per cui si ha che $\aligned
&-i(p+q)\int {\rm d}^4p\,{\rm d}^4q\,
e^{ipx+iqy}S_F(p)\Gamma_\mu^5(...
...tyle\int {\rm d}^4p\,{\rm d}^4q\, e^{ipx+iqy}S_F(q+p)\gamma_5}$}}}
\endaligned$ per cui le ward identities nello spazio di Fourier possono essere scritte come $\aligned
&-i(p+q)S_F(p)\Gamma_\mu^5(p,q)S_F(q)
=-2mS_F(p)\Gamma_\mu(p,q)S_F(q...
...)
=2miS_F(p)\Gamma_\mu(p,q)S_F(q)+i
\gamma_5S_F(q)+iS_F(p)\gamma_5\endaligned$ e quindi
\begin{displaymath}
(p+q)\Gamma_\mu^5(p,q)
=2mi\Gamma_\mu(p,q)+i
S^{-1}_F(p)\gamma_5+i\gamma_5S^{-1}_F(q).
\end{displaymath} (53)

Ciò che intendiamo mostrare ora è che queste non valgono in un calcolo perturbativo e che il termine aggiuntivo è proprio il termine anomalo della I.49. Nell' idea di sviluppare le Ward identities in un ambito perturbativo scriviamo
$\displaystyle \Gamma_\mu^5(p,q)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \gamma_\mu\gamma_5+\Lambda_\mu^5(p,q),\quad\Gamma_5(p,q)=
\gamma_...
...mbda_5(p,q),\quad S_F(p)^{-1}=i(\makebox{$\not\hskip-0.18em{p}\,$}-m)-\Sigma(p)$  
      (54)

dove
\begin{displaymath}[i(\makebox{$\not\hskip-0.18em{p}\,$}-m)]^{-1}=\frac{-i}{(\ma...
...le=lineafer.eps,width=4em}}
\text{ linea fermionica libera.}
\end{displaymath} (55)

Allora, in termini delle correzioni non banali le Ward identitie possono essere scritte come
\begin{displaymath}
(p+q)\Lambda_\mu^5(p,q)
=2mi\Lambda_\mu(p,q)-i
\Sigma(p)\gamma_5-i\gamma_5\Sigma(q).
\end{displaymath} (56)

Ora, allo scopo di derivare le I.61 in modo diagrammatico si può operare una classificazione dei diagrammi che contribuiscono a formare  $\Lambda_\mu^5(p,q)$ in due classi:
1
diagrammi in cui il vertice $\gamma_mu\gamma_\nu$ è attaccato direttamente alla linea fermionica g5sufer.eps10Fig 1 Diagramma con vertice chiriale sulla linea fermionica
2
diagrammi in cui il vertice $\gamma_\mu\gamma_5$ è attaccato ad un loop interno g5suloop.eps10Diagramma con vertice chiriale su un loop interno
Ora si può calcolare [1] esplicitamente il generico termine di ambedue le classi di diagrammi e sommando tali contributi si ottiene a prima vista la usuale Ward identities I.61. Senonchè nel calcolo della seconda classe di diagrammi si deve effettuare necessariamente una traslazione dell' elemento di integrazione di loop $\ell\to\ell+p+q$ in modo da semplificare alcuni termini e ottenere gli opportuni contributi alle I.61. Ma l' operazione di cambiamento della variabile di integrazione è lecita a patto che l' integrale sia al massimo superficialmente con divergenza logaritmica [*]. Ora il generico dermine dei diagrammi del secondo tipo con $2n$ fotoni uscenti dal loop sarà formato dall' integrale in ${\rm d}^4 r$ e tanti fattori $\frac1{\makebox{${r}\hskip-0.5em/\,$}-\alpha}$ per quante linee fotoniche ci sono più una che le connette con il vertice  $\gamma_\mu\gamma_5$. Allora, per $2n$ linee fotoniche fi avrà che $\int{\rm d}^4\ell\, \left(\frac1\ell\right)^{2n+1}\propto
\int{\rm d}\ell\,\ve...
...t)^{2n+1}\propto
\int_0^\Lambda{\rm d}\ell\,\ell^{2-2n}\approx
\Lambda^{3-2n}$ per cui il cambiamento di variabile è lecito per tutti quei grafici con loop con almeno quattro fotoni uscenti. Tali grafici generano dunque le I.61. Ma il loop a triangolo
\begin{displaymath}
T_{\mu\rho\sigma}(p,q)=
\vcenter{\psfig{figure=triang1.ep...
...ght=3cm}}
+
\vcenter{\psfig{figure=triang3.eps,height=3cm}}
\end{displaymath} (57)

ha solo due fotoni uscenti e dunque esso risulta linearmente divergente e quindi l' operazione di ridefinizione dell' integrale sul loop non è più lecita. Ciò che accade dunque, per questo diagramma, è che detto con $f_{\mu\rho\sigma}(\ell,p,q)$ il grafo a triangolo con le linee esterne segate ossia tale che
\begin{displaymath}
\displaystyle\int {\rm d}^4\ell\, f_{\mu\rho\sigma}(\ell,p,q)=T_{\mu\rho\sigma}(p,q)
\end{displaymath} (58)

esso va come $\ell^{-3}$ e quando si applica una traslazione nella misura d' integrazione si ha che $\int{\rm d}^4\ell f_{\mu\rho\sigma}(\ell,p,q)=\int{\rm d}^4\ell
f_{\mu\rho\sig...
... d}^4\ell' \dfrac{\partial{}}{\partial{a_\alpha}}
f_{\mu\rho\sigma}(\ell',p,q)$ e mentre il primo termine va a completare le ward identities non anomale il secondo termine non nullo genera un termine anomalo che corrisponde proprio alla I.49. Vediamolo esplicitamente utilizzando le regole di Feynman per la QED sul grafo a triangolo $\aligned
T_{\mu\rho\sigma}(p,q)
&=(-1)\mathop{\famzero Tr\,}\nolimits \displa...
...\hskip-0.05em{\ell}\,$}+\makebox{$\not\hskip-0.18em{p}\,$}}\right]
\endaligned$ e dunque
\begin{displaymath}
\aligned T_{\mu\rho\sigma}
&=e^2\mu^{3(2-\omega)}
\displ...
...em{\ell}\,$}+\makebox{$\not\hskip-0.18em{p}\,$})].\endaligned
\end{displaymath} (59)

Come già detto questi integrali risultano linearmente divergenti in quattro dimensioni.
L' idea immediata sarebbe di valutare la traccia e poi l' integrale ma dato che si lavora nell' ambito della regolarizzazione dimensionale ciò non funziona perchè la $\gamma_5$ risulta definita solo in quattro dimensioni e non in un numero arbitrario. Certo esiste un modo di generalizzare [6] la definizione di $\gamma_5$ che porta al risultato voluto ma noi, per i nostri scopi, sceglieremo un' altra strada. Valuteremo prima l' integrale, lo moltiplicheremo per i momenti esterni ossia estrarremo la divergenza di  $T_{\mu\rho\sigma}(p,q)$ e ciò che rimarrà sara la traccia di $\gamma_\mu$ con indici sommati sui momenti esterni ossia somme su indici quadridimensionali. A quel punto potremo valutare la traccia in quattro dimensioni. Iniziamo dunque valutando l' integrale I.64 in $2\omega$ dimensioni. Ricordando che [7]
\begin{displaymath}
\dfrac1{abc}=2\displaystyle\int _0^1{\rm d}x\,\displaystyle\int _0^{1-x}{\rm d}y\,
\dfrac1{\bigl[ay+b(1-x-y)+cx]^3}
\end{displaymath} (60)

si ha che $\aligned
T_{\mu\rho\sigma}(p,q)
&=2e^2\mu^{3(2-\omega)}
\displaystyle\int \d...
...ell(py-qx)
+p^2y+q^2x]^3}
\mathop{\famzero Tr\,}\nolimits [\cdots]\endaligned$ e detto con
\begin{displaymath}
s_\mu=p_\mu y-q_\mu x,\quad b^2=p^2y+q^2 x
\end{displaymath} (61)

si ha che $\aligned
T_{\mu\rho\sigma}
&=2e^2\mu^{3(2-\omega)}
\displaystyle\int _0^1\!{...
...5em{\ell}\,$}\gamma_\sigma\makebox{$\not\hskip-0.18em{p}\,$})\bigr].\endaligned$ Come si vede $T_{\mu\rho\sigma}(p,q)$ possiede termini lineari quadratici e cubici in $\ell$. Al fine di semplificare le cose eliminando il termine cubico ricordando che
\begin{displaymath}
\makebox{$\not\hskip-0.05em{\ell}\,$}\gamma_\mu\makebox{$\n...
...ell_\mu\makebox{$\not\hskip-0.05em{\ell}\,$}+\ell^2\gamma_\mu
\end{displaymath} (62)

si ha che $\aligned T_{\mu\rho\sigma}(p,q)
&=\cdots\mathop{\famzero Tr\,}\nolimits \bigl[...
...p-0.05em{\ell}\,$}+\text{ termini lineari e quadr. in }\ell)\bigr]
\endaligned$ d' altra parte
\begin{displaymath}
\mathop{\famzero Tr\,}\nolimits (\gamma_5\gamma_\mu\gamma_\alpha)=0
\end{displaymath} (63)

per cui i primi due termini sono nulli e ciò che rimane è $\aligned
T_{\mu\rho\sigma}(p,q)
&=\cdots\mathop{\famzero Tr\,}\nolimits \bigl...
...\\
&\quad-
\ell_\beta (p_\alpha q_\delta-q_\alpha p_\delta)\bigr]\endaligned$ per cui i termini da valutare sono
\begin{displaymath}
T_{\mu\rho\sigma}=
T^{(1)}_{\mu\rho\sigma}+T^{(2)}_{\mu\rho\sigma}+T^{3)}_{\mu\rho\sigma}
\end{displaymath} (64)

dove T^(1)_&=& 2e^2^3(2-) _0^1dx_0^1-xdy d^2(2)^2- 2^2_[^2+2s +b^2]^3Tr[_5____]
T^(2)_&=& 2e^2^3(2-) _0^1dx_0^1-xdy d^2(2)^2- __(p_-q_)+ __(p_-q_) [^2+2s +b^2]^3·
& &·Tr[_5___ __]
T^(3)_&=& 2e^2^3(2-) _0^1dx_0^1-xdy d^2(2)^2- -_(p_q_-q_p_) [^2+2s +b^2]^3·
& &·Tr[_5___ __] e d' altra parte, ricordando che [*] d^2(2)^2- _[^2+2s +b^2]^3&=& -(3-)(4)^(3)s_(b^2-s^2)^ 3-
d^2(2)^2- __[^2+2s +b^2]^3&=& 1(4)^(3){12_ (2-)(b^2-s^2)^2-+.
& &.+(3-) s_s_(b^2-s^2)^3-} mentre, derivando ulteriormente rispetto a $s_\mu$ la d^2(2)^2- __[^2+2s +b^2]^A&=& 1(4)^(A){12_ (A-1-)(b^2-s^2)^A-1-+.
& &.+(A-) s_s_(b^2-s^2)^A-} si ha che $\aligned
\displaystyle\int \!\!\dfrac{{\rm d}^{2\omega}\ell}{(2\pi)^{2-\omega}...
...2\Gamma(A+1-\omega)\dfrac{s^2 s_\nu}{(b^2-s^2)^{A+1-\omega}}\right\}\endaligned$ e dividendo tutto per $-2A$ $\aligned
\displaystyle\int \dfrac{{\rm d}^{2\omega}\ell}{(2\pi)^{2-\omega}}
\...
...Gamma(A+1-\omega)\dfrac{s^2 s_\nu}{(b^2-s^2)^{A+1-\omega}}\right\}
\endaligned$ e posto $A+1\longrightarrow A$ si ha che d^2(2)^2- ^2_[^2+2s +b^2]^A&=&- 1(4)^(A){ s_(b^2-s^2)^A-1-(A-)(+1)+.
&&.+ (A-)s^2 s_(b^2-s^2)^A-}. Partiamo allora con il calcolare $T^{(1)}_{\mu\rho\sigma}(p,q)$; utilizzando proprio quest' ultima formula e chiamando con
\begin{displaymath}
D\equiv b^2-s^2=q^2x(1-x)+p^2y(1-y)+2pqxy
\end{displaymath} (65)

si ha che $\aligned
T^{(1)}_{\mu\rho\sigma}(p,q)&=
4e^2\mu^{3(2-\omega)}\displaystyle\i...
...}\nolimits [\gamma_5\gamma_\mu\gamma_\rho\gamma_\sigma\gamma_\alpha]\endaligned$ Si tratta ora di regolarizzare questo grafico usando l' approccio dimensionale $\varepsilon=2-\omega\to0$ $\aligned
T^{(1)}_{\mu\rho\sigma}
&=-2e^2\dfrac1{16\pi^2}\displaystyle\int _0^...
...lpha+o(\varepsilon)\right)
\mathop{\famzero Tr\,}\nolimits [\cdots]\endaligned$ e dunque, a meno di ordini finiti si ha che
\begin{displaymath}
T^{(1)}_{\mu\rho\sigma}(p,q)
=\dfrac{e^2}{8\pi^2}\displays...
...u\gamma_\rho\gamma_\sigma\makebox{$\not\hskip-0.18em{s}\,$}].
\end{displaymath} (66)

Passiamo ora a $T^{(2)}_{\mu\rho\sigma}(p,q)$ utilizzando la I.74 $\aligned T^{(2)}_{\mu\rho\sigma}
&=2e^2\mu^{3(2-\omega)}\displaystyle\int _0^1...
...a_\alpha\gamma_\rho\gamma_\beta
\gamma_\sigma\gamma_\delta]\right\}\endaligned$ $\aligned T^{(2)}_{\mu\rho\sigma}(p,q)
&=e^2\mu^{3(2-\omega)}\displaystyle\int ...
...a_\alpha\gamma_\rho\gamma_\beta
\gamma_\sigma\gamma_\delta]\biggr\}\endaligned$ ma $\gamma_\mu\gamma_\rho\gamma_\mu=-\gamma_\rho\gamma_\mu\gamma_\mu-2\delta_{\mu\rho}
\gamma_\mu=(2\omega-2)\gamma_\rho=-2(1-\omega)\gamma_\rho$ per cui $\aligned
T_{\mu\rho\sigma}^{(2)}
&=e^2\mu^{3(2-\omega)}\displaystyle\int _0^1...
...a_\alpha\gamma_\rho\gamma_\beta
\gamma_\sigma\gamma_\delta]\biggr\}\endaligned$ e osserviamo come ora, nelle prime due tracce sia possibile anticommutare senza il termine con la $\delta$ perchè in tali termini ci sarebbe la traccia di una $\gamma_5$ con due $\gamma_\mu$ che è sempre nulla. Allora, anticommutando si ha che $\aligned
T_{\mu\rho\sigma}^{(2)}
&=e^2\mu^{3(2-\omega)}\displaystyle\int _0^1...
...a_\alpha\gamma_\rho\gamma_\beta
\gamma_\sigma\gamma_\delta]\right\}\endaligned$ e d' altra parte non si fà fatica a dimostrare che _____&= &-2____+ 2____- 2____+ 2____-
& &-2____+ 2____- 2____- _____ e inserito questo risultato nel termine della seconda traccia proporzionale a  $s_\alpha s_\beta$ produce, a parte il segno, come ultimo termine proprio quello proporzionale a  $s_\beta s_\delta$ elidendolo. Si ha dunque che $\aligned
T_{\mu\rho\sigma}^{(2)}
&=e^2\mu^{3(2-\omega)}\displaystyle\int _0^1...
...delta\gamma_\rho\gamma_\beta]\delta_{\alpha\sigma}
\right\}\biggr\}\endaligned$ $\aligned
T_{\mu\rho\sigma}^{(2)}
&=e^2\mu^{3(2-\omega)}\displaystyle\int _0^1...
...ma_\rho\makebox{$\not\hskip-0.18em{s}\,$}]s_\sigma
\right\}\biggr\}\endaligned$ d' altra parte anche per questi termini vale il fatto che si può anticommutare senza il termine con la delta per cui $\aligned
T_{\mu\rho\sigma}^{(2)}
&=e^2\mu^{3(2-\omega)}\displaystyle\int _0^1...
...ma_\rho\makebox{$\not\hskip-0.18em{s}\,$}]s_\sigma
\right\}\biggr\}\endaligned$ per cui il secondo e il quarto si elidono a vicenda. Passiamo a regolarizzare i termini rimasti $\aligned
T_{\mu\rho\sigma}^{(2)}
&=-2e^2\mu^{3(2-\omega)}\displaystyle\int _0...
....\\
&\quad+
\bigl(D^{-1}+o(\varepsilon)\bigr)
\{\cdots\}\biggr\}\endaligned$ e dunque ordini finiti si ha che
$\displaystyle T_{\mu\rho\sigma}^{(2)}$ $\textstyle =$ $\displaystyle -\dfrac{e^2}{8\pi^2}\displaystyle\int _0^1{\rm d}x\displaystyle\i...
...\makebox{$\not\hskip-0.18em{p}\,$}-\makebox{$\not\hskip-0.18em{q}\,$})]+\right.$  
    $\displaystyle +
D^{-1}
\left\{
\mathop{\famzero Tr\,}\nolimits [\gamma_5\gamma_...
...}\,$}\makebox{$\not\hskip-0.18em{s}\,$}\gamma_\rho](p_\sigma-q_\sigma)-
\right.$  
    $\displaystyle -\mathop{\famzero Tr\,}\nolimits [\gamma_5\gamma_\mu\gamma_\rho\g...
...not\hskip-0.18em{q}\,$})\makebox{$\not\hskip-0.18em{s}\,$}\gamma_\sigma]s_\rho-$  
    $\displaystyle \left.
-\mathop{\famzero Tr\,}\nolimits [\gamma_5\gamma_\mu(\make...
...{q}\,$})\makebox{$\not\hskip-0.18em{s}\,$}\gamma_\rho]s_\sigma
\right\}\biggr\}$ (67)

Passiamo infine a calcolare $
T_{\mu\rho\sigma}^{(3)}(p,q)$ utilizzando la I.73 e con lo stesso metodo utilizzato sopra si giunge a $\aligned T_{\mu\rho\sigma}^{(3)}
&=e^2\mu^{3(2-\omega)}\displaystyle\int _0^1{...
...ac{\Gamma(3-\omega)}{(4\pi)^\omega}
\dfrac1{D^{3-\omega}}\{\cdots\}\endaligned$ e regolarizzando anche questo termine $\aligned T_{\mu\rho\sigma}^{(3)}(p,q)
&=-\dfrac{e^2}{8\pi^2}\displaystyle\int ...
...\int _0^{1-x}{\rm d}y\,
\bigl(D^{-1}+o(\varepsilon)\bigr)\{\cdots\}\endaligned$ e quindi ordini finiti si ha che
$\displaystyle T_{\mu\rho\sigma}^{(3)}$ $\textstyle =$ $\displaystyle -\dfrac{e^2}{8\pi^2}\displaystyle\int _0^1{\rm d}x\displaystyle\i...
...kip-0.18em{p}\,$}\gamma_\rho\makebox{$\not\hskip-0.18em{s}\,$}]q_\sigma-\right.$  
    $\displaystyle -\mathop{\famzero Tr\,}\nolimits [\gamma_5\gamma_\mu\makebox{$\no...
...5\gamma_\mu\gamma_\rho\makebox{$\not\hskip-0.18em{s}\,$}\gamma_\sigma]p\cdot q+$  
    $\displaystyle +\mathop{\famzero Tr\,}\nolimits [\gamma_5\gamma_\mu\makebox{$\no...
...ip-0.18em{q}\,$}\gamma_\rho\makebox{$\not\hskip-0.18em{s}\,$}]p_\sigma
\biggr\}$ (68)

Vediamo allora di risommare i vari termini ordine per ordine. Ordini  $\frac1\varepsilon$ si ha che $\aligned
T_{\mu\rho\sigma}
&=-\dfrac{e^2}{8\pi^2}\displaystyle\int _0^1{\rm d...
...dfrac16+
3p_\alpha\left(\dfrac12+\dfrac16-\dfrac12\right)\right\}=0\endaligned$ Per cui nonostante  $T^{(1)}_{\mu\rho\sigma}(p,q)$ $T^{(2)}_{\mu\rho\sigma}$ siano singolarmente divergenti per $\omega\to2$ la loro somma da contributi finiti nel limite $\varepsilon\to0$ per cui, in tale limite, il diagramma a triangolo risulta convergente. Allora in tale limite l' unico termine che risulta non nullo e che dunque contribuisce alla corrente assiale è il termine indipendente da $\varepsilon$ che si deve ora sommare. Osserviamo innanzitutto che esistono, in tale termine, contributi lineare in $p_\alpha$, lineari in $q_\alpha$ e termini di grado maggiore. Ora, ciò che a noi interessa sarà la divergenza sugli impulsi esterni del grafico I.62 ossia il termine $(p+q)_\mu T_{\mu\rho\sigma}$ per cui i pezzi non lineari di $T_{\mu\rho\sigma}$ spariscono in quanto sommando su $\mu$ la traccia tira fuori delle $\epsilon_{\mu\rho\sigma\alpha}$ e dunque termini contenenti gli impulsi esterni in grado maggiore al primo si annullano. Ci si può allora dimenticare tranquillamente delle varie traccie contenenti i prodotti di $p_\alpha$$q_\alpha$$s_\alpha$ Ciò che rimane al termine del calcolo sono allora i termini proporzionali a $\mathop{\famzero Tr\,}\nolimits [\gamma_5\gamma_\mu\gamma_\rho\gamma_\sigma\makebox{$\not\hskip-0.18em{s}\,$}]$ in $T^{(1)}_{\mu\rho\sigma}$ e i termini proporzionali a $\mathop{\famzero Tr\,}\nolimits [\gamma_5\gamma_\mu\gamma_\rho\gamma_\sigma(\makebox{$\not\hskip-0.18em{p}\,$}-\makebox{$\not\hskip-0.18em{q}\,$})]$ in  $T^{(2)}_{\mu\rho\sigma}$ Possiamo a questo punto eliminare ulteriormente i termini contenenti il logaritmo con la seguente considerazione: tali diagrammi contengono, così come sono una divergenza infrarossa ma, come la I.62 non contiene divergenze ultraviolette si può anche dimostrare che esso non contiene divergenze infrarosse e dunque tali termini devono necessariamente annullarsi. Allora ciò che resta è il solo termine proporzionale a $\gamma$ e quello costante. Sommando i termini proporzionali a $\gamma$ si ha che $\aligned
T_{\mu\rho\sigma}^{(\gamma)}
&=-\dfrac{e^2}{8\pi^2}
\displaystyle\i...
...!{\rm d}y\,
q_\alpha\right)+
\dfrac12
(p_\alpha-q_\alpha)\right\}\endaligned$ $\aligned
T_{\mu\rho\sigma}^{(\gamma)}
&=-\dfrac{e^2\gamma}{8\pi^2}
\mathop{\...
...frac12 (p_\alpha-q_\alpha)+
\dfrac12
(p_\alpha-q_\alpha)\right\}=0\endaligned$ Allora anche il termine proporzionale a $\gamma$ è nullo. Resta dunque il termine in  $T_{\mu\rho\sigma}^{(1)}$ contenente il solo $s_\alpha$ e il termine in  $T_{\mu\rho\sigma}^{(2)}$ contenente  $p_\alpha-q_\alpha$. Per il calcolo di quest' ultimo termine ritorniamo a monte [*]. Chiamiamo con  $T_{\mu\rho\sigma}^{(1)\prime}$ e con  $T_{\mu\rho\sigma}^{(2)\prime}$ i due termini indipendenti dagli impulsi esterni in  $T_{\mu\rho\sigma}^{(1)}$ e in  $T_{\mu\rho\sigma}^{(2)}$ proporzionali a $\mathop{\famzero Tr\,}\nolimits [\gamma_5\gamma_\mu\gamma_\rho\gamma_\sigma\gamma_\alpha]$ ossia $\aligned
T'_{\mu\rho\sigma}&=T_{\mu\rho\sigma}^{(1)\prime}+T_{\mu\rho\sigma}^{...
...nolimits [\gamma_5\gamma_\mu\gamma_\rho\gamma_\sigma\gamma_\alpha]
\endaligned$ ora, si può vedere [7] [*] che il primo termine si può riscrivere di modo che $\aligned
T'_{\mu\rho\sigma}
&=\left\{
-\dfrac{2e^2\mu^{3(2-\omega)}}{(4\pi)^...
...nolimits [\gamma_5\gamma_\mu\gamma_\rho\gamma_\sigma\gamma_\alpha]
\endaligned$ e regolarizzando dimenticando il termine in  $\frac1\varepsilon$ e gli ordini superiori a $\varepsilon^0$ si ha che $T'_{\mu\rho\sigma}=
-\dfrac{e^2}{16\pi^2}\displaystyle\int _0^1{\rm d}x\displa...
..._\sigma(\makebox{$\not\hskip-0.18em{p}\,$}-\makebox{$\not\hskip-0.18em{q}\,$})]$ e considerando il solo termine indipendente da $\varepsilon$ $\aligned
T'_{\mu\rho\sigma}&=
-\dfrac{e^2}{16\pi^2}\displaystyle\int _0^1{\rm...
...ot\hskip-0.18em{p}\,$}-\makebox{$\not\hskip-0.18em{q}\,$})]+\cdots
\endaligned$ e calcolando la divergenza della corrente assiale e ricordando la I.42 e visto che, come detto sopra, i termini tralasciati si annullano si ha che $\aligned
(p+q)_\mu T'_{\mu\rho\sigma}
&=-\dfrac{e^2}{2(16\pi^2)}
\mathop{\fa...
...a}
(p_\mu p_\alpha-p_\mu q_\alpha+ q_\mu p_\alpha-q_\mu q_\alpha)
\endaligned$ d' altra parte i termini simmetrici si annullano per cui $(p+q)_\mu T'_{\mu\rho\sigma}
=-\dfrac{e^2}{8\pi^2}
\epsilon_{\mu\rho\sigma\al...
...sigma\alpha\mu}
q_\mu p_\alpha-\epsilon_{\rho\sigma\mu\alpha}p_\mu q_\alpha)
$ e dunque finalmente
\begin{displaymath}
(p+q)_\mu T_{\mu\rho\sigma}(p,q)=\dfrac{e^2}{4\pi^2}\epsilon_{\rho\sigma\mu\nu}
p_\mu q_\nu
\end{displaymath} (69)

Allora si vede come calcolando con uno sviluppo perturbativo il termine  $(p+q)_\mu\Lambda^5_\mu$ si ha che i diagrammi del primo tipo danno i termini $2mi\Lambda^{5(a)}-i\Sigma\gamma_5-i\gamma_5\Sigma$ mentre l' utilizzo dei diagrammi del secondo tipo danno il termine  $2mi\Lambda^{5(b)}$ che con quello sopra va a completare il termine $2mi\Lambda^5$ delle usuali Ward identities [*] ma oltre a tale termine si aggiunge nello spazio degli impulsi un ulteriore termine anomalo della forma I.82. Allora le usuali Ward identities sono errate e in realtà esse sono della forma
\begin{displaymath}
(p+q)_\mu\Gamma_\mu^5(p,q)
=2mi\Gamma_\mu(p,q)+i
S^{-1}_F(p)\gamma_5+i\gamma_5S^{-1}_F(q)+\text{ termine anomalo}
\end{displaymath} (70)

Come può essere scritto questo termine anomalo? Ovviamente esso è dato, nello spazio degli impulsi dal loop  $T_{\mu\rho\sigma}$ saturato sui fotoni uscenti e sui propagatori fermionici esterni ossia è della forma & \psfig{file=trianom.eps,width=2.5cm} &=S_F(p)A_(p)T_(p,q)A_(q)S_F(-q)=
&&=-S_F(p)A_(p)T_(p,q)A_(q)S_F(q) e quindi le Ward identities anomale risultano &(p+q)__^5(p,q) &=2mi_(p,q)+i S^-1_F(p)_5+i_5S^-1_F(q)-iA_(p)A_(q)T_=
&&=2mi_(p,q)+i S^-1_F(p)_5+i_5S^-1_F(q)-e^24^2_ p_q_A_(p)A_(q).
&& Ricordiamo che le I.58 si ricavano dall' espressione della divergenza di $j_\mu^5$. È ovvio allora pensare che tale termine anomalo provenga, nello spazio delle coordinate, proprio dal fatto che la divergenza di $j_\mu^5$ non è solo  ma qualcos' altro. Mostriamo che una divergenza anomala di $j_\mu^5$ della forma I.49 da proprio un termine uguale a quello anomalo contenuto nella I.85. Ricordando l' espressione di $F_{\mu\nu}$ e del suo duale si ha che $\aligned
\partial_\mu j_\mu^5(z)
&=-2m\gamma_5-\dfrac i{16\pi^2}\epsilon_{\mu...
...nu A_\mu(z))(\partial_\rho
A_\sigma(z)-\partial_\sigma A_\rho(z))
\endaligned$ e scritto $A_\mu(z)$ nello spazio degli impulsi come
\begin{displaymath}
A_\mu(z)=\int{\rm d}^4 p e^{-ipx} A_\mu(p)
\end{displaymath} (71)

si ha che il termine trattato classicamente nella I.57 $
\lim\limits_{z\to0}{\langle{0}\vert}\overline{\psi}(x)\partial_\mu j_\mu^5(z)\overline{\psi}(y){\vert{0}\rangle}$ viene ora riscritto come $\aligned
\lim_{z\to0}\!{\langle{0}\vert}\overline{\psi}(x)\partial_\mu j_\mu^5...
...rtial_\rho
e^{-iqz} A_\sigma(q)-\partial_\sigma e^{-iqz} A_\rho(q))\endaligned$ e tralasciando il primo termine che porta all' usuale termine di massa della I.58 e detto con $K(p,q)$ il termine aggiuntivo si ha che $\aligned K(p,q)
&=-\lim_{z\to0}\dfrac i{16\pi^2}
\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\...
... d}^4p {\rm d}^4 q
e^{-ipx-iqy}p_\mu q_\nu A_\rho(p) A_\sigma(q)
\endaligned$ e dunque
\begin{displaymath}
-i(p+q)_\mu \Gamma_\mu^5=\dots-\dfrac i{4\pi^4}\epsilon_{\rho\sigma\mu\nu}
p_\mu q_\nu A_\rho(p) A_\sigma(q)
\end{displaymath} (72)

che corrisponde esattamente al termine ottenuto con il calcolo esplicito del diagramma triangolo. Dunque l' anomalia dovuta alla non invarianza dell' elemento di misura dell integrale di percorso è l' anomalia dovuta al diagramma a triangolo con due fotoni uscenti dal loop nelle identità di Ward.

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