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Un' altra simmetria di nel limite di massa nulla è la simmetria chiriale
globale
(x)&&'(x)=e^i_5(x)
(x)=^+(x)_0&&'(x)=(x) e^i_5
la cui semplice applicazione del solito teorema di Noether
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porta a una corrente
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la cui divergenza può essere calcolata utilizzando la variazione di
infatti
e integrando per parti e considerando la trasformazione chiriale come locale
ossia con
allora
ma e dunque
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o, nel limite di massa nulla
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Ciò che voglianmo verificare ora è la conservazione di e di
in presenza di correzzioni radioattive. Nessun problema ci viene da
perche' dopo tutto esso è la corrente elettrica che noi sappiamo
essere conservata.
Per quanto riguarda invece la corrente chiriale è stato dimostrato da
Adler [1], Bell e Jackiw [2] che la sua conservazione
non è verificata ordini . A questa anomalia è la famosa
``ABJ chirial anomaly''.
I diagrammi contenenti vertici
nell' elettrodinamica
degli spinori è di particolare interesse a causa delle sue molteplici
connessioni. Ciò che si vuole fare è mostrare che i diagrammi della
corrente chiriale hanno proprietà anomale che si differenziano da quelle
trovate dalla manipolazione formale dell' equazione dei campi. In particolare, a causa
della presenzadel diagramma a triangolo, la divergenza della corrente assiale
non sarà l' usuale espressione sopra calcolata e non soddisferà
più l' usuale Ward identity. Questo presenterà una connessione molto forte
con alcuni processi fisici quali i già citato tempo di decadimento
.
Utilizzando un procedimento introdotto da Fujikawa [3] basato sull' utilizzo
della funzione mostriamo che l' extra fattore anomalo proviene dal
fatto che l' elemento di misura funzionale non è invariante sotto trasformazioni
chiriali.
L' integrale di percorso
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dove è definita nella I.1, può essere formalmente integrata come
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Cosa accade ora a tale integrale di percorso quando si
opera una trasformazione chiriale. Già sappiamo che è invariante se
è una variabile globale e ma cosa succede all' elemento di
misura
? È ovvio che esso varierà come
dove è lo jacobiano della trasformazione chiriale. Ciò che si
deve fare allora è calcolare questo jacobiano.
D' altra parte, e sono variabili d' integrazione per
cui l' F.P.I. deve rimanere inalterato formalmente se a e a
si sostituisce e ossia, in particolare, se
e variano per una trasformazione chiriale infinitesiama
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deve essere che
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dove denota l' azione trasformata dalla trasformazione chiriale, che
già sappiamo essere
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Ma allora l' integrale di cammino a destra della I.13 può essere
formalmente integrata nell' euclideo come
da cui
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Per prudenza moltiplichiamo ora tale espressione con l' analoga in cui si è
scambiata
in modo da dover trattare con determinanti di operatori
ellittici con i quali la tecnica della funzione riesce meglio, ossia utilizziamo
la
e detto con
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si ha che una soluzione formale per risulta
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o anche, passando ai logaritmi
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che, ordine può essere scritto come
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o anche, ricordando che
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si ha che
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Ricordiamo ora alcune cose sulla funzione ; per un ben definito operatore
agente su la risulta data da
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dove la traccia agisce su tutti gli indici di e soddisfa la così
detta equazione del calore
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Allora la variazione della dovuta ad una variazione dell' operatore
può essere scritta come
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dove ora la
soddisfa l' equazione del calore inomogenea
ottenuta differenziando l' omogenea come
ossia la
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Per sostituzione si può vedere che una soluzione per la I.25
risulta
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infatti differenziando rispetto a
da cui la I.25.
D' altra parte esiste un modo per costruire la dagli autovalori
dell' operatore [4] infatti detta con una base delle
soluzionui di con come autovalore ossia tale che
K_xf_n(x)&=&_n f_n(x)
d^4x f^+_n(x)f_n(x)&=&_nm
si ha che la
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soddisfa proprio la I.23 ma allora
e integrando in
e detto con
e dunque, infine,
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Applichiamo ora questo formalismo al nostro problema. Posto
con
si ha che
e dunque
d' altra parte gli ordini superiori a nella derivazione danno termini
contenenti che dunque si annullano per per cui possiamo
tralasciare gli per cui
Ora, ovviamente anche
è diagonalizzabile sulla stessa base
di
e siano gli autovalori antihermitiano di
tale che
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dove l' ultima delle I.31 proviene dal fatto che
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Allora si ha che
Ciò che facciamo ora è quello di aggiungere e togliere il termine
di modo che
e d' altra parte
è esso stesso diagonalizzabile su ma essendo
un operatore antiherimitiano allora
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e dunque facendolo agire sugli autostati
e dunque si elidono a vicenda. Allora si ha che
e ricorando che
allora
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e inserendo questo risultato nella I.21 si è trovato che
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Ciò che rimane da fare ora è calcolare la sommatoria. Ma prima di farlo
analizziamo l' espressione
. Esso può essere pensato come una sorta
di conteggio del numero di autovettori con autovalore nullo ( i cosi detti
``zero modes''). Infatti
esistono due autovettori
e
e nella sommatoria della I.35 per ogni
c' e sia un termine della forma
e sia un termine
per cui per ogni i termini si elidono a vicenda.
Gli unici termini non nulli sono proprio quelli corrispondenti all' autovalore
nullo per cui tale somma sarà certamente proporzionale a
ossia
al numero netto di zero modes.
Calcoliamo dunque la somma
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questa può essere riscritta in forma operatoriale come
Ora, la sommatoria non è ben definita a causa della introdotta dal prodotto
e dunque, per eliminare formalmente tale infinito poniamo
ossia
Utilizzando ora la rappresentazione integrale per l' operatore
e per la ossia la
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otteniamo
essendo
.
L' utilità di tutto questo costrutto sta nel fatto che ora l' operatore
diventa più maneggiabile visto che ora, agendo sull' esponenziale, il tira fuori un . Scriviamo ora
d' altra parte il commutatore e antisimmetrico mentre
e sono termini simmetrici e dunque non danno contributi
e se anche
si annulla
si ha che
e detto con
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ed essendo
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si ha che
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per cui
e, sviluppando l' esponenziale dentro alla traccia in serie di Taylor
ma
,
e se anche gli sono nulli
si ha che
ed essendo
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allora
e definito il tensore duale di come
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si ha che
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(40) |
e sostituito nella tale risultato si ha che
d' altra parte
e d'altra parte è ora possibile eseguire il limite in quanto con la derivazione
si è persa la presenza della
e, posto
allora
e posto
si ha che
e d' altra parte
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(41) |
per cui
ma
per cui
e quindi in definitiva
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(42) |
e sostituendo nella I.35
e quindi si è trovato che
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(43) |
e ricordando la I.13 si ha che
da cui
e quindi si ottiene la legge di conservazione anomala per la corrente chiriale
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(44) |
e dunque
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(45) |
per cui si vede come anche nel limite di massa nulla la corrente che nell' azione
veniva conservata acquista nell' integrazione funzionale un termine anomalo detto
di Adler-Bell-Jackwin della forma
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